f: U-W, трансверсальные С (при условии, что r>max(dimW- -dim f/-dim С, 0)).

Слабая теорема трансверсальности для многообразий. Пусть А - компактное многообразие и С - компактное подмногообразие в многообразии В. Тогда отображения f: А-В, трансверсальные к С, образуют открытое всюду плотное множество в пространстве всех г-гладких отображений А в В (r>max(dim5-dimЛ-dimC, 0)).

Замечание. Если одно из многообразий А или С некомпактно, то «открытое всюду плотное множество» нужно заменить на «густое множество».

Пусть М и N - гладкие многообразия (или области в векторных пространствах). С каждым отображением связано его «k-струйное расширение» f: М-)-/" (М, Л); точке х из М сопоставляется /г-струя отображения / в точке х.

Теорема трансверсальности Тома. Пусть С - собственное подмногообразие пространства струй Р{М, Л/). Тогда множество отображений / : M-n, fe-струйные расширения которых трансверсальны к С, образует густое множество в пространстве всех отображений из М в iV с С-топологией (при условии, что г>го{к, dimM, dimV)).

1.4. Простейшие приложения: особые точки типичных векторных полей. Всюду в этом пункте «типичные поля или семейства» - это поля или семейства из некоторого густого подмножества соответствующего функционального пространства. Векторные поля задаются на области пространства R".

Теорема. Для типичного семейства векторных полей множество особых точек полей семейства образует гладкое подмногообразие в прямом произведении фазового пространства на пространство параметров.

Ч Множество особых точек полей семейства имеет вид, {{х, e)\v(x, е)=0}. По лемме Сарда множество критических значений отображения v имеет меру нуль. Следовательно, существует вектор б произвольно малой длины, для которого --6 - некритическое значение отображения v. Множество {v{x, е)=--6}-гладкое многообразие по теореме о неявной функции. Но это многообразие есть множество особых точек векторных полей семейства v {х, е) +6.

Проектирование построенного многообразия равновесий на пространство параметров является гладким отображением. Теория особенностей гладких отображений (в частности, проекций) доставляет классификацию критических точек типичных отображений (а следовательно, и бифуркаций положений равновесия в типичных семействах).

Например, если параметр всего один, то типичная бифуркация, с точностью до расслоенного над осью параметра диффеоморфизма, такая же, как в семействе с кривой равновесий г = = dhJc2 (рождение или смерть пары равновесий). Если парамет-

ров два, то проектирование приводится к одной из нормальных форм

8i=+jc {складка), ъхх±Ъ2Х (сборка Уитни).

Теорема. Все особые точки типичного векторного поля "иевырождены (не имеют нулевых собственных чисел).

Л Пусть «-векторное поле с фазовым пространстеом U. Рассмотрим отображение v.U-J". В качестве подмногообразия С рассмотрим точку 0. По слабой теореме трансверсальности, •отображение v общего положения трансверсально С. Но это и означает невырожденность особых точек векторного поля v. ►

Теорема. Все особые точки типичного векторного поля - гиперболические.

Л Рассмотрим 1-струйное расширение отображения v фазового пространства V в R". Пространство J(U, R") состоит из точек вида (х, у. А), где xW, t/CR", ЛеНот(Р", R"). Образ фазового пространства U под действием 1-струйного расширения отображения v состоит из точек (х, v{x), dvfdx{x)). Обозначим через С алгебраическое подмногообразие в /(f/, R"), состоящее из точек вида ((х. О, Л) оператор Л имеет хотя бы одно собственное значение на мнимой оси). Это алгебраическое многообразие имеет коразмерность п+1; оно не является гладким многообразием, но является объединением гладких, вообщеговоря, не компактных многообразий коразмерности не меньше п+1. Размерность U равна п. По теореме трансверсальности образ v{U) для векторного поля v общего положения не пересекает С. ►

1.5. Топологически версальные деформации. Рассмотрим •семейство дифференциальных уравнений x = v{x, е).

Локальным семейством векторных полей (v; Xq, ъо) называется росток поля V в точке (Хо, ео) прямого произведения фазового пространства и пространства параметров; представителями таких ростков являютс? семейства векторных полей\

Эквивалентность локальных семейств (v; х , во) и (w; уо, t]o) задается ростком гемеоморфного отображения Н произведения фазового пространства и пространства параметров первого семейства на аналогичное произведение для второго семей-ества; росток рассматриватся в точке (Хо, ео); Я(хо, ео) = (Уо, т1о). Представитель ростка расслоен над базой семейства, то есть Я: (х, е) (г/, t]) = (i(x, е), 2(b)). Отображение (•, е) -гомеоморфизм, переводящий фазовые кривые вектор-

> Подчеркнем различие между локальным семейством и семейством ростков векторных полей: поля локального семейства определены в общей окрестности точки Хо, не зависящей от е, достаточно близкого к ео. Поля «семейства ростков» этим свойством не обладают.

ного поля v{-, в) (в области определения Я) в фазовые кривые векторного поля w{-, г) с сохранением направления движения.

Заметим, что при гго точка Хо не обязательно переводится отображением Н{-, г) в точку уо.

Слабая эквивалентность локальных семейств векторных полей определяется так же, только росток Н не должен быть непрерывным: представитель ростка Н - семейство диффеомор-физмдв Я (•, «), определенных в общей окрестности точки Хо, но не обязательно непрерывных по е.

Два локальных семейства строго эквивалентны, если они эквивалентны, имеют общую базу, и сопрягающий гомеоморфизм Я сохраняет значение параметра: Я(х, e) = {Hi{x, е), е).

Локальное семейство (и; Xq, цо) называется индуцированным из локального семейства (v; Xq, ibo), если существует росток в точке Но непрерывного отображения Ф пространства параметров в пространство параметров: ц-*8 = Ф(л) такой, что

и (х, IX) = v {X, ф (ц)), Ф (о) = ео.

Локальное семейство называется топологически орбитально версальной (короче, просто версальной) деформацией роста поля vo=v{-, Ео) в точке Хо, если всякое другое локальное семейство, содержащее тот же росток, строго эквивалентно индуцированному из данного.

Слабо версальная деформация ростка определяется так же, только «эквивалентность» заменяется «слабой эквивалентностью».

Рассмотрим группу G диффеоморфизмов многообразия М, например, группу линейных преобразований пространства R", скажем группу S2 симметрии плоскости относительно фиксированной прямой, проходящей через нуль, или группу Z, поворотов плоскости на углы 2npjq. Если в предыдущих определениях ростки векторных полей и гомеоморфизмов считать G-эквивариантными, то получится определение G-эквивариант-ной версальной деформации G-эквивариантного ростка векторного поля. (Напомним, что векторное поле на М или его росток в точке О G-эквивариантны, если поле (росток) переходит в себя при всех отображениях gG. Росток гомеоморфизма в точке О пространства R" G-зквивариантен, если он перестановочен со всеми отображениями группы G.)

Указание и исследование версальной деформации ростка векторного поля является способом концентрированного представления результатов очень полного исследования бифуркаций фазового портрета.

1.6. Теорема сведения. Рассмотрим семейство векторных полей, зависящих от конечномерного параметра. Предположим, что поле v{-, 0) имеет особую точку х=0 и что соответствующее характеристическое уравнение имеет s корней в левой полуплоскости, и в правой полуплоскости и с на мнимой оси.

2-30 17