Главная Промышленная автоматика.

тырьмя особыми точками типа седло (рис. 27в), и главный член преобразования монодромии этого цикла линеен (преобразование монодромии определено на внешней полутранс-версали).

4.4. Бифуркации в невырожденных семействах. Связные компоненты, на которые линии вырожденных значений А делят третий квадрант, занумерованы на рис. 26. На рис. 28 показана последовательность бифуркаций в семействе (II.4), если А принадлежит области VIII. Последовательность заведомо происходящих перестроек для остальных областей указана в [20],. [41].

В областях, номера которых отличаются только буквой а,, последовательность перестроек, по-видимому, одна и та же, за единственным исключением: в семействах (ll-O, соответствующих одной из двух таких областей, сначала исчезают ненулевые особые точки, а затем предельный цикл, обходящий О, исчезает в нуле; в семействах, соответствующих другой области,, эти события происходят в обратном порядке. Линии 1, 2, 3 и связанные с ними вырождения были предсказаны в [20], [21] и исследованы в [41], [42].

4.5. Предельные циклы систем с симметрией четвертого по рядка. Предельные циклы систем (Пд), близких к гамильтоно-вым, исследованы в [88]. А именно, доказано, что существует окрестность V мнимой оси с выколотыми точками A = ±.i (заштрихована на рис. 26), обладающая следующим свойством. Для каждой точки А из этой окрестности уравнения семейства (II.4) имеют не более двух предельных циклов; случаи О, 1 и 2 циклов реализуются.

Замечание. Неизвестно:

1. Есть ли еще вырожденные значения А, кроме указанных выше?

2. Не происходит ли в невырожденных семействах (Па) других перестроек, кроме описанных в [20], [21]?

3. Сколько предельных циклов может иметь уравнение (10)?

§ 5. Конечногладкие нормальные формы локальных семейств

Семейство дифференциальных уравнений приводится к нормальной форме аналитическим или бесконечногладким преобразованием лишь в исключительно редких случаях. Полезную информацию можно часто извлечь и из конечногладкого приведения. Например, С-гладкое приведение позволяет следить за направлениями инвариантных многообразий и т. д. Конечно-гладкие нормальные формы семейств используются при нормализации уравнений быстрых движений в теории релаксацион-



ных колебаний (п. 2.1, гл. 4) и при исследовании нелокальных бифуркаций (гл. 3).

5.1. Обзор результатов. Интегрируемые конечно гладкие нормальные формы удается получить для деформаций ростков векторных полей в гиперболической неподвижной точке или ростков векторных полей на гиперболическом цикле, в предположении, что линеаризация соответствующих ростков нерезонансна или имеет однократный резонанс. Удается также написать конечно гладкую нереальную деформацию ростка векторного поля с одним нулевым собственным значением в особой точке.

На этом положительные результаты, в значительной мере, исчерпываются. Уже деформация ростка отображения

имеет функциональный инвариант даже относительно С-гладкой классификации: две деформации с разными функциональными инвариантами не являются С-гладко эквивалентными. Аналогично обстоит дело с деформациями других негиперболических ростков диффеоморфизмов или векторных полей на циклах, встречающихся в однопараметрических семействах общего положения. Функциональные инварианты имеет также С-глад-кая классификация деформаций ростков векторных полей в особой точке с парой чисто мнимых собственных значений.

Общие теоремы о конечногладких нормальных формах, не обязательно интегрируемых, содержатся в п. 5.3.

5.2. Определения и примеры.

Определение 1. Деформация ростка векторного поля в особой точке называется С-гладко (орбитально) версальной, если любая деформация этого ростка С-гладко (орбитально) эквивалентна индуцированной из исходной.

Определение 2. Деформация ростка векторного поля в особой точке называется конечногладко (орбитально) версальной, если для любого k у нее существует представитель, являющийся С-гладко (орбитально) версальной деформацией этого ростка.

Аналогично определяется конечногладко (орбитально) версальная деформация ростка векторного поля на цикле и диффеоморфизма в неподвижной точке.

Замечание. Конечногладкая версальная деформация является «сколь угодно гладкой», но не «бесконечногладкой». Дело в том, что чем выше гладкость диффеоморфизма, сопрягающего произвольную деформацию и индуцированную из версальной, тем меньше, вообще говоря, область изменения параметров. Аналогично обстоит дело с гладкостью центрального многообразия: для гладкого векторного поля оно сколь угодно гладко, но не бесконечногладко: чем выше требования гладкости, тем меньшая окрестность особой точки на центральном многообразии этой гладкостью обладает.



пример 1. Рассмотрим систему

ё = 0,

У=~У + /{х.у){х-е). (12)

Центральное многообразие этой системы двумерно; исследуем его пересечения с плоскостями e = const. Система (12) получается добавлением уравнения е = 0 к семейству из последних двух уравнений. При е > О уравнение этого семейства имеет две особые точки: седло 5е(/е,0) и узел Nei - Vn, 0), отношение а собственных значений которого равно \I2Ye. Пересечение центрального многообразия системы (12) с плоскостью e==const содержит (гладкую) сепаратрису седла и фазовую кривую, входящую в узел Л£. Через узел Ne проходят (при неделом со) ровно две гладкие инвариантные кривые соответствующего уравнения; остальные фазсвые кривые входят в узел, имея в точке - / е лишь конечное число односторонних производных (оно равно [а] -целой части а). Поэтому, выбрав функцию / так, чтобы в системе (12) «развести» сепаратрису седла и гладкое инвариантное многообразие узла, получим, что центральное многообразие системы (12) негладко. Гладкость его части, заключенной в полосе \е<ео, не превосходит 1/2/ео и стремится к бесконечности при ео-О.

Пример 2. Рассмотрим деформацию ростка векторного поля в особой точке типа седло на плоскости, заданную как одно ур авнение:

х = А{е)х-\-...,

е = 0, jceR2, ЕбН. (13)

Если отношение а собственных значений оператора А (0) отрицательно и иррационально, то формальная нормальная форма этой системы имеет вид

х - А{Ё) X, е=0.

Однако поскольку собственные значения оператора Л(0) разных знаков (особая точка О -седло), отношение собственных чисел оператора Л(е) принимает рациональные значения на любом интервале изменения параметров (если деформация типична). Поэтому существуют сколь угодно малые значения е, для которых формальная нормальная форма уравнения

x== Л (е)х-Ь ...

содержит нелинейные (резонансные) члены. Следовательно, замены класса С", превращающей исходное семейство в семейство





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 [19] 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

0.0035