Главная Промышленная автоматика. Рис. 24. Бифуркации в главном гз-эквивариантном семействе В каждом из главных Zg-эквивариантных семейств при некоторых значениях параметров, образующих линии на плоскости е, возникают сепаратрисные многоугольники. Сдвиг по фазовым кривым поля семейства за единицу времени приближает q-ю степень преобразования монодромии предельного цикла, теряющего устойчивость с прохождением пары мультипликаторов через сильный резонанс. Особым точкам полей семейства соответствуют неподвижные точки д-й степени преобразования монодромии и 2я9-периодические циклы периодического уравнения; входящим и выходящим сепаратрисам седел - устойчивые и неустойчивые многообразия неподвижных точек. Две сепаратрисы особых точек, раз пересекшись, должны совпадать на всем своем протяжении. Не так обстоит дело с инвариантными кривыми неподвижных точек диффеоморфизмов. Эти кривые пересекаются, вообше говоря, трансверсально, а для диффеомор-
Рис. 25. Бифуркации в главном 2б-эквивариантном семействе физмов типичного однопараметрического семейства могут касаться при некоторых значениях параметров. Такое касание называется гомоклиническим или гетероклиническим в зависимости от того, касаются ли инвариантные кривой одной или разных особых точек диффеоморфизма. Рассмотрим значение параметра главного Zg-эквивариантного семейства, соответствующее векторному полю с петлей сепаратрисы (случай q=l, 2) или сепаратрисным многоугольникам (случаи q=2, 3, 4). Следует ожидать, что существует близкое значение параметра семейства периодических дифференциальных уравнений, которому соответствует гомоклиническое или гетероклиническое касание инвариантных многообразий неподвижных точек q-й степени преобразования монодромни. Бифуркации таких диффеоморфизмов описаны в § 6 главы 3. Здесь отметим только, что при таких бифуркациях возникают, как правило, нетривиальные гиперболические множества. Гипотеза. В типичных двупараметрических семействах векторных полей, в которых происходит потеря устойчивости предельным циклом с прохождением через сильный резонанс, встречаются векторные поля с йетривиальными гиперболическими множествами. Соответствующие им значения параметра подходят к критическим узкими языками. Замечания. 1. Насколько нам известно, эта гипотеза не доказана, хотя близкие утверждения формулировались давно ([20, §213]). 2. Объединение гиперболического множества, возникающего при гомоклиническом касании, и всех траекторий, которые к нему притягиваются, вообще говоря, имеет в фазовом пространстве меру нуль. Однако множество траекторий положительной меры находится вблизи гиперболического чрезвычайно долгое, по сравнению с периодом цикла, время (с точки зрения физического наблюдателя это время можно считать бесконечным). Поэтому при потере устойчивости предельным циклом вблизи сильного резонанса следует ожидать возникновения хаоса. 3. Рассмотрим однопараметрическое семейство, в котором происходит потеря устойчивости предельным циклом при переходе пары мультипликаторов через единичную окружность вблизи точки -1. При изменении параметра семейства возможна такая последовательность событий: устойчивый цикл мягко теряет устойчивость с образованием тора, на котором быстро образуется перетяжка, так что форма меридиана тора приближается к восьмерке; при подходе к центру восьмерки (где находится неустойчивый цикл) притягивающее множество, оставаясь близким к тору с почти стянувшимся в восьмерку меридианом, разрушается вблизи гомоклинической сепаратрисы (Ю. И. Ней-марк). В этом случае фазовая траектория совершает витки вокруг то одной, то другой половины разрушенного тора, перескакивая с одной стороны на другую случайным на вид образом. § 4. Бифуркации предельных циклов при прохождении пары мультипликаторов через +t Для исследования потери устойчивости циклом с мультипликаторами, близкими к ±1, необходимо изучить семейство уравнений z6z-\-Pz\z\2-\-Qz (10) Ниже описываются бифуркации фазовых портретов в этом семействе. 4.1. Вырожденные семейства. Здесь ищутся те значения Р и Q, при которых в семействе (10) с параметром беС\0 (при фиксированных Р и Q) происходят нетипичные бифуркации. Лемма. Семейство (10) с параметром беС\0 при PQO эквивалентно (может быть, после обращения времени) индуцированному из семейства i=ez + Az\z\+z (11д) с параметром е : е =1, причем А = а+Ы, аО, ЬО. Ч Равенства е = 1 можно добиться умножением времени на подходящую константу. Изменяя, если нужно, знаки времени и 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [17] 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 0.0016 |