Главная Промышленная автоматика.

Здесь

v,,a{z) = vz-\-z{A\zf+B\z\%

V=/со -f 8 + /а (е), Л = itto+а -f iai (е, а),

В=В{г,а), Re£(0,0)<0;

выполнения последнего неравенства можно добиться обращением времени. Пространство параметров (е, а) разбивается на 3 области (рис. 22), соответствующие одной, двум или пустому множеству замкнутых инвариантных кривых поля .а и отображения Ne,a (эти кривые-окружности). Кривая Г, на которой сливаются, исчезая, две инвариантные окружности, задается уравнением

4е6+-а2=0, 6 = Re Б, а>0,

и напоминает ветвь параболы

а2 = -48б(0, 0), а>0

(ср. рис. 7).


Рис. 22. Зоны существования замкнутых инвариантных кривых вблизи линии Г закрашены черным. Зоны, где возмущенное отображение имеет столько же замкнутых инвариантных кривых, сколько и невозмущенное, заштрихованы

Следующая теорема сравнивает поведение нормализованных отображений N,a с отображениями, возникающими при типичной деформации ростка /о. При одних значениях параметров наблюдается сходство, а при других - резкие различия в геометрических свойствах возмущенного и невозмущенного отображений.

Теорема ([130]). Рассмотрим семейство / ростков диффеоморфизмов

. Ua:z-NtA)-\-0{\z\%



Пусть число (О удовлетворяет условию Зигеля: для некоторых положительных С и о и для любого рационального piq выполняется неравенство \i>i-piq\>Cq-(+. Тогда для любого натурального k существуют окрестность нуля U и окрестность W «параболы» Г\{0}, ограниченная кривой dU и двумя кривыми, касающимися в нуле, такие что:

1. Для любой пары (е, а) из разности U\W отображение f.a имеет столько же замкнутых инвариантных кривых, сколько и Ne,a; эти кривые гладки класса С*.

2. Внутри окрестности W существует «близкое к Г» канторово множество, для каждой точки (е, а) из которого отображение fe.a имеет единственную замкнутую инвариантную кривую. Кроме того, точка (е, а) является вершиной двойной воронки (закрашена черным на рис. 22). Для всех значений (е, а) из левой (правой) половины воронки отображение /е-,о- имеет притягивающую (отталкиваюиую) замкнутую инвариантную кривую.

Шансине [131 : 10] утверждает также, что в области W •сколь угодно близко к нулю существуют такие значения параметра (е, а), для которых отображение /е,а имеет в любой окрестности нуля сколь угодно много периодических точек и гомоклинических кривых. Подобные эффекты ранее наблюдались для ростков диффеоморфизмов плоскости только при наличии вырождений коразмерности бесконечность.

Отметим в заключение, что информация о преобразованиях монодромни стандартным образом переводится на язык дифференциальных уравнений: неподвижным или периодическим точкам соответствуют замкнутые траектории, инвариантным окружностям - инвариантные торы или бутылки Клейна и т. д.

§ 3. Бифуркации циклов в типичных

двупараметрических семействах при сильных резонансах порядка #4

Типичные диффеоморфизмы с двумя мультипликаторами - корнями из единицы, вероятно, не имеют конечно параметрических нереальных деформаций.

Вместо семейств диффеоморфизмов в этом параграфе рассматриваются семейства векторных полей, сдвиги по траекториям которых за единичное время приближают исходные семейства диффеоморфизмов.

Таким образом, в качестве упрощенной модели двупарамет-рического семейства диффеоморфизмов вблизи резонанса е*", (u - 2nplq, мы рассматриваем семейство сдвигов за единичное время вдоль траекторий - эквивариантных векторных полей. Нормальные формы семейств таких полей описаны в п.п. 3.3 и 3.4. Хотя эти упрощенные семейства сдвигов не эквивалентны исходным семействам диффеоморфизмов, тем не менее они обладают многими свойствами, присущими исходным семействам.



Другими словами, мы ограничиваемся исследованием бифуркаций в факторсистеме упрощенной нормальной формы семейства уравнений в окрестности цикла. Истолкование результатов в терминах исходной системы требует дополнительной работы, так как даже топологически бифуркации в исходной системе и в упрощенной нормальной форме не всегда одинаковы (см.; например, п. 3.5). Начнем с построения вспомогательных семейств векторных полей на плоскости, сдвиг вдоль которых приближает преобразование монодромии циклов в случае сильного резонанса.

3.1. Нормальная форма в случае унипотентной жордановой клетки. Росток диффеоморфизма в неподвижной точке на плоскости с унипотентной линейной частью может быть реализован как преобразование монодромии периодического дифференциального уравнения с нильпотентной линейной частью

x = Jx-f(x,t). л;6(К2, 0), tS = К/2я2. У = (о J), / (0. t)=0, (0. t) s0.

Такое уравнение формальной, периодической по t, заменой приводится к автономной (не содержащей t) форме:

xJx-\-f(x), /(0)=0, (0)=0.

Деформация предыдущего неавтономного уравнения такой же заменой приводится к виду

хА{г)х-\-Р(х,г), Л(0) = У, F (л, 0) = /(jc).

Более того, существует гладкая замена, переводящая исходную деформацию в семейство, отличающееся от выписанного автономного на добавок, плоский на окружности x=0, 8 = 0. Эта «почти автономная» деформация изучена мало; зато подробно изучены получаемые отбрасыванием плоского добавка деформации ростков векторных полей в особой точке с ненулевой нильпотентной линейной частью на плоскости. Эти деформации описаны в п. 4.2 главы 1.

Аналогично, отбрасывая плоский добавок, деформацию ростка диффеоморфизма в остальных случаях сильного резонанса можно превратить в деформацию сдвига по фазовым кривым векторного поля так, что сдвиг и деформация будут эквивалентны относительно конечной группы движений. Для пары мультипликаторов 1 и -1 это будет группа S2, порожденная симметрией (х, г) (дг, -г); для пары ехр {±2niplq) это будет группа Z„ порожденная поворотом на 2nlq.

Редукцию задачи о деформациях ростков диффеоморфизмов к задаче об эквивариантных деформациях ростков, векторных полей (в случае резонанса (в=2яр/9 или пары мультипликато-





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [15] 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

0.0043