в п. 8.5 гл. 3, поэтому укажем лишь геометрическую картину (рис. 20). На этом рисунке кольцо изображено в виде прямоугольника, левая и правая стороны которого отождествлены и состоят из точек устойчивого многообразия неподвижной точки на границе: седло-узла на рис. 20д и седла для всех остальных. В начальной ситуации а инвариантная кривая гладкая. В случаях б, в, г инвариантная кривая еще непрерывна, но уже не имеет касательной в устойчивой неподвижной точке N. Устойчивая точка в случаях б и в - узел, причем в случае б неустойчивое многообразие седла Q не пересекает, в случае в пересекает неведущее многообразие узла N (инвариантное многообразие узла, соответствующее большему по модулю собственному значению. В случае же г устойчивая точка-фокус, мультипликаторы ее комплексны.

Оставшиеся рисунки иллюстрируют дальнейшие возможные изменения фазового портрета. На рис. 20 показан момент образования s-критического седло-узла"; его исчезновение приведет к рождению странного аттрактора. На рис. 20 е изображено первое простое касание неустойчивого и устойчивого многообразий точки Q. В этот момент и при дальнейшем изменении параметров, приводящем к рождению гомоклинических точек транс-версального пересечения, аттрактор в кольце является странным. На рис. 20 ж уже произошла бифуркация удвоения периода точки N и возникла устойчивая двоякопериодическая траектория (замкнутой инвариантной кривой не стало). При дальнейшем изменении параметров может реализоваться каскад

Рис. 21. Бифуркационные кривые, соответствующие перестройке инвариантного тора

S - критический седло-узел определен и его бифуркации исследованы в § 4 главы 3.

бифуркаций удвоения периода и возникнуть аттрактор Фейгенбаума. Впрочем, точка N может потерять устойчивость и иным способом, например, может возникнуть замкнутая инвариантная кривая, с которой могут произойти те же изменения, что и с исходной.

На рис. 21 изображена типичная бифуркационная диаграмма в резонансном языке. В точке О диффеоморфизм, как на рис. 20а; изменениям параметра вдоль кривых Ь, f тл г отвечают последовательности бифуркаций, изображенные в левом, среднем и правом столбцах рис. 20 соответственно, bi, &2 - бифуркационные кривые, отвечающие образованию точек простого касания на каждом из лучей Wq\Q, а - бифуракционная кривая, отвечающая смене устойчивости точки N.

Для одной и той же системы потеря устойчивости неподвижной точки в разных резонансных языках может происходить по-разному.

§ 2. Бифуркации циклов в типичных двупараметрических семействах при однократном дополнительном вырождении

Этот параграф начинается с перечня вырождений, встречающихся в типичных двупараметрических семействах ростков диффеоморфизмов в неподвижной точке и соответствующих изолированным значениям параметров. Бифуркации неподвижных точек с мультипликатором 1 или-1 с дополнительным вырождением в нелинейных членах во многом напоминают бифуркации особых точек с собственным значением 0. Напротив, бифуркации в случае пары комплексно сопряженных мультипликаторов при дополнительном вырождении в нелинейных членах, наряду с появлением замкнутых инвариантных кривых, приводят к совершенно новым эффектам.

2.1. Перечень вырождений. t- 1°. Один мультипликатор 1 с дополнительным вырождением в нелинейных членах.

2°. Один мультипликатор -1 с дополнительным вырождением.

3°. Пара невещественных мультипликаторов на единичной окружности с дополнительным вырождением.

4°. Один двукратный мультипликатор 1; линейная часть в

нуле эквивалентна унипотентной жордановой клетке \

5°. Один мультипликатор 1 и один -1.

6°. Один двукратный мультипликатор -1.

7°. Пара мультипликаторов е±<, а) = 2лр1д, д=3 или 4.

8°. Тройка мультипликаторов 1.

9°. Тройка e±, -1. 10°. Две пары е±". е±"-.

Случаи 5°-7° называются случаями сильного резонанса.

Случаи 8° и 10° в определенном смысле сводятся к исследованию бифуркаций положений равновесия с нулевым и парой чисто мнимых собственных значений и с двумя мнимыми парами соответственно. Специальные исследования бифуркаций неподвижных точек диффеоморфизмов в случаях 8°-10°, насколько нам известно, не проводились.

В этом параграфе исследуются деформации ростков с вырождениями первых трех типов.

2.2. Мультипликатор 1 или -1 с дополнительным вырождением в нелинейных членах.

Определение 1. Главной v-параметрической деформацией ростка диффеоморфизма прямой в неподвижной точке с мультипликатором 1 называется одно из двух семейств

Х-Х ± +8i +82Л: -Ь . . . -f EvJC-. (8*)

Определение 2. Главной v-параметрической деформацией ростка диффеоморфизма прямой в неподвижной , точке с мультипликатором -1 называется одно из двух семейств

х--х ± jc2v+i -f 81JC -f 82A:3-f... -f ejc2v-i. (9±)

«Теорем а». В типичных [А-параметричесКих семействах ростков диффеоморфизмов в неподвижной точке встречаются только такие ростки с мультипликатором 1 (или -1) и одномерным центральным многообразием, вблизи которых семейства локально слабо эквивалентны надстройке седла над одним из главных семейств (8±) (соответственно, (9±)) при v<[j,; случаю v = p отвечают изолированные точки пространства параметров. Эти локальные семейства слабо версальны.

Замечание. Слово «теорема» заключено здесь в кавычки, поскольку доказательство, насколько нам известно, не опубликовано. Классификация описанных в теореме семейств диффеоморфизмов с обычным отношением эквивалентности при рЗ имеет функциональные модули (см. п. 5.11 главы 2).

2.3. Пара мультипликаторов на единичной окружности с дополнительным вырождением в нелинейных членах (см. [13Q] и [131:6-13]). Следуя Шансине, рассмотрим росток диффеоморфизма /о: (R, 0)(R2, 0) с парой невещественных мультипликаторов на единичной окружности и дополнительным вырождением: нарушается требование (36).

Типичная двупараметрическая деформация этого ростка заменой координат и параметров приводится к виду