нием параметра. Когда оно иррационально, орбиты группы степеней ростка диффеоморфизма всюду плотны на инвариантной кривой; когда оно рационально - тогда в типичном семействе, в отличие от его укорочения (4), (5), (6), возникает конечное число длиннопериодических циклов (период равен знаменателю несократимой дроби, задающей число вращения).

Это явление удобно изучать, рассматривая двупараметриче-ское семейство диффеоморфизмов, в котором параметр пропорционален логарифму комплексного мультипликатора: его вещественная и мнимая части - два вещественных параметра семейства. Заменой координат такое семейство приводится к виду

zez + Л (е) zp -f О (1 z \% (7)

если е пробегает окрестность любого значения о на отрезке [О, 2я], не содержащую «точек сильного резонанса» еф2пр/а лри 194. Пусть КеЛ((1))<0. Тогда инвариантная кривая рождается при переходе параметра е из нижней в верхнюю полуплоскость вблизи точки со. Можно доказать, что эта кривая конечно гладко зависит от параметра е, пробегающего пересечение некоторой окрестности точки со с верхней полуплоскостью. Областью резонанса p/q называется множество значений параметра 8, для которых число вращений диффеоморфизма (7) на его инвариантной кривой равно p/q. Область резонанса pfq расположена в верхней полуплоскости и подходит к вещественной оси в точке 2np/q узким языком: ограничивающие его кривые касаются, как две параболы степени (q-2)/2 (рис. 19). Расположение этих зон напоминает расположение резонансных зон для семейства диффеоморфизмов окружности, заданных тригонометрическими полиномами, то есть напоминает задачу типа Матье в смысле [23]; (см. рис. 11 из [26]).

Типичное однопараметрическое семейство, индуцированное лз (7), попадает в счетное число резонансных зон на любом ин-

Рис. 19. Бифуркационная диаграмма семейства диффеоморфизмов (7) и соответствующего семейства дифференциальных уравнений. Жирной линией выделены база однопараметрического семейства и вещественная ось

> Это легко сделать с помощью рассуждений [173, гл. 6], ио, кажется, явные формулировка и доказательство в литературе отсутствуют.

тервале, содержащем вещественное значение параметра, отличное от сильно резонансного. При прохождении параметра через это значение рождается и умирает счетное число циклов, период которых тем больше, чем ближе параметр к вещественной оси (В. С. Козякин [20, стр. 283]); см. рис. 19.

1.5, Нелокальные бифуркации периодических решений. Пусть при нулевом значении параметра в типичном однопараметрическом семействе дифференциальных уравнений в трехмерном фазовом пространстве имеется устойчивый предельный цикл с парой мультипликаторов е**" на единичной окружности (устойчивости можно добиться обращением времени). Поскольку семейство одной ар аметрическое и типичное, можно считать, что (o¥=2np/q при д4. Тогда при прохождении параметра через О в направлении, соответствующем переходу мультипликатора изнутри единичной окружности наружу, рядом с предельным циклом возникает инвариантный тор толщины порядка Уе, где е - параметр семейства. На этом торе при изменении параметра в бесконечном количестве рождаются и умирают длиннопе-риодические предельные циклы. При дальнейшем возрастании параметра тор теряет гладкость и может превратиться в странный аттрактор, как это описано ниже.

1.6, Бифуркации распада инвариантных торов. Пусть в типичном двупараметрическом семействе С*-гладких векторных полей, при нулевом значении параметра е предельный цикл теряет устойчивость и рождается устойчивый инвариантный тор. Тогда, как было показано выше, на плоскости параметров существуют резонансные языки, отвечающие наличию у векторного поля невырожденных предельных циклов, лежащих на торе. При этом сам тор является объединением неустойчивых многообразий седловых циклов с устойчивыми циклами.

Представляет большой интерес выяснение сценариев перехода от периодического режима, отвечающего наличию устойчивого цикла на торе, к режиму непериодических колебаний, которому может соответствовать странный аттрактор. Это важно, в первую очередь, потому, что численное и лабораторное или даже натурное исследование большого количества физических и других задач (течение Куэтта, конвекция в плоском слое жидкости, генерация колебаний и радиотехнических и СВЧ генераторах и т. д.) показывает, что возникновение стохастических колебаний при разрушении двумерного тора, на котором число вращения рационально, - широко распространенное явление. Прежде, чем инвариантный тор разрушится, он должен потерять гладкость, оставаясь еще некоторое время топологическим подмногообразием фазового пространства. Способы потери удобно демонстрировать на примере отображения кольца в себя, которое при начальных значениях параметров имеет гладкую инвариантную кривую. Конкретный вид отображения здесь несуществен, например, оно может быть таким, как в {34], или

4-30 4»

<?Q

Q Q

РйС. 20. Сценарии разрушения двумерного инвариантного тора