1.2. Мультипликатор -1 и бифуркация удвоения периода.

Определение. Главной однопараметрической деформацией ростка диффеоморфизма прямой в неподвижной точке с мультипликатором -1 называется одно из двух семейств

/е:л-(-1-1-е)л:±хЗ. (2±)

Теорема ([20], [180]). В типичных однопараметрических семействах диффеоморфизмов встречаются только такие ростки диффеоморфизмов в неподвижной точке с мультипликатором - 1, которые с помощью гомеоморфной замены координат превращаются в один из ростков Х-х+х или jci-* х-х. Деформации в типичных семействах таких ростков эквивалентны главным деформациям и версальны.

Требования типичности. 1. Редуцированный росток диффеоморфизма с мультипликатором -1 имеет вид х>-/{х), лричем

P:xx + ajfi-r «тО.

2. Семейство трансверсально многообразию ростков, выделяемых предыдущим требованием.

Замечание. Подробное доказательство теоремы в литературе отсутствует, хотя теорема проще предыдущей и доказывается теми же методами (см. [180]).

В семействе (2+) при переходе параметра слева направо через О происходит мягкая потеря устойчивости. А именно, при 80 неподвижная точка О ростка устойчива. При е>0 она теряет устойчивость, но возникает «устойчивый цикл периода 2»: пара точек, близких к ±Уе, переставляемых диффеоморфизмом /е. Для диффеоморфизма каждая из этих точек неподвижна и устойчива. Этой перестройке соответствует мягкая потеря устойчивости предельным циклом (в предположении, что при еО все остальные мультипликаторы по модулю меньше 1). При е>0 исходный цикл сохраняется, но становится неустойчивым, а рядом с ним на расстоянии порядка Уе появляется устойчивый предельный цикл примерно вдвое большего периода (рис. 18. )

Фейгенбаум [143] открыл, что в типичных однопараметриче- ских семействах диффеоморфизмов на конечном интервале изменения параметра может происходить бесконечное число бифуркаций удвоения периода. Для конкретных отображений последовательности удвоений были численно обнаружены за . несколько лет до того экологами (Шапиро А. П., Математические модели в конкуренции. - В книге «Управление и информация». Владивосток, ДВНЦ АН СССР, 1974, вып. 10, 5-75; May R. М., Biological populations, obeing difference equations: stable points, stable cycles and chaos: J. theor. biol., 1975, 51, 511-524).

Рис. 18. Бифуркация удвоения периода

Этому И близким явлениям посвящен § 6.

1.3. Пара комплексно сопряженных мультипликаторов. Деформации ростков диффеоморфизмов с парой комплексно сопряженных мультипликаторов имеют топологический инвариант, пробегающий единичную окружность (аргумент мультипликатора, по модулю равного* единице), и даже в классе ростков с парой мультипликаторов е**" (to фиксировано) конечно параметрические версальные деформации не построены и, видимо, не существуют.

В типичных однопараметрических семействах встречаются ростки с парой мультипликаторов е±*, удовлетворяющие следующему требованию общности положения: заменой координат росток приводится к виду

zez + az\zf-\-0{\z I").

«Соизмеримость частот» ы/2п=р/д с целыми р и q называется резонансом порядка q. Резонанс назьшается сильным, если его порядок не больше 4.

Требования типичности.

1. Отсутствие сильного резонанса:

(Si=2npjq при <4;

2. ReaO.

(За) (36)

Всюду в этом пункте предполагается, что сильный резонанс отсутствует; он появляется неустранимым образом только при двух (и более) параметрах.

Деформация ростка (3) с помощью гладко зависящей от параметра замены координат приводится к виду

ё1(г.в) + 0(гР).

(4)-

где gl -сдвиг за единичное время вдоль фазовых кривых векторного поля г>:

D{z, е) = 2[ш+Я(е)-Ь Л(е)р], (5>

p=2z, Я(0)=0. Л(0) = а. Rea=0.

Для типичных семейств КеЯ(0)=0. При прохождении е через О в семействе уравнений

z = v{z. е) (6)

рождается предельный цикл-окружность с центром О и радиусом, пропорциональным (п. 2.2, гл. 1). Следовательно, в семействе (4) с отброшенными старшими членами 0(z») при прохождении параметра через О рождается гладкая кривая (окружность), которую диффеоморфизм поворачивает на угол,, зависящий от е (поскольку поле v{-, е) инвариантно относительно поворотов).

Бифуркации в исходном семействе существенно сложнее.. Гомеоморфная окружности инвариантная кривая действительно рождается, но не является гладкой. Ограничение диффеоморфизма на нее не обязательно эквивалентно повороту. Число вращения диффеоморфизма на инвариантной кривой зависит от параметра и стремится к о)/2л;, когда параметр стремится к критическому значению 0.

Теорема ([87], [173], [191], [192]). Рассмотрим локальное семейство диффеоморфизмов (f; О, 0):

f{z, e)=e«>+Wz-fa(e)2p-t-0(p2), Я(0)=0.

Пусть росток f{-, 0) удовлетворяет требованиям типичности (За) и (36), а само семейство удовлетворяет следующему условию трансверсальности:

Яе%(0)ФО.

Тогда в локальном семействе (f; О, 0) при прохождении е через О (вправо, если КеЛ,(0) Rea<0 и влево при обратном неравенстве) рождается инвариантная кривая, гомеоморфная окружности и обходящая 0. Гладкость этой кривой, вообще говоря, конечна, но стремится к бесконечности при е->-0.

Теорема ([180]). Если две типичные однопараметрические деформации ростков диффеоморфизмов (R, 0)-*-(R, 0) с парой невещественных мультипликаторов на единичной окружности топологически эквивалентны, то мультипликаторы деформируемых ростков совпадают.

Эта теорема следует из топологической инвариантности числа вращения для диффеоморфизма окружности.

1.4. Нелокальные бифуркации в однопараметрических семействах диффеоморфизмов. Число вращения диффеоморфизма семейства (4) на его инвариантной кривой меняется с измене-