Главная Промышленная автоматика.

Комментарий. 1. В скобках указаны гипотетические значения максимальных показателей.

2. Максимальные показатели мягкой и жесткой потери устойчивости не обязаны совпадать для всех ростков одного класса -(встречаемых в общего положения 3-параметрических семействах). Такое несовпадение имеется в классах Wi и, возможно, •о./:о

3. Жирные линии в таблице разделяют классы разной коразмерности.

Опасные и безопасные зоны границы области устойчивости (при переходе через которые происходит соответственно жест-1сая. и мягкая потеря устойчивости) впервые исследованы Н. Н. Баутиным [35].

Настоящий параграф излагает результаты Л. Г. Хазина и Э.Э. Шноля [103].

Глава 2

БИФУРКАЦИИ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ

Бифуркации фазовых портретов в окрестности цикла полностью описываются бифуркациями соответствующего преобразования монодромии. Поэтому основным объектом изучения в этой главе являются бифуркации ростков диффеоморфизмов в неподвижной точке. Локальные семейства ростков диффеоморфизмов, их эквивалентность, слабая эквивалентность, индуцированные и версальные деформации ростков определяются так же, как и для ростков векторных полей (см. п. 1.5). Для ро-•стков диффеоморфизмов в неподвижной точке справедливы аналоги теорем сведения ([26, п. 2.4, гл. 6] и п. 1.6, гл. 1). Ограничение ростка диффеоморфизма на центральное многообразие называется редуцированным ростком диффеоморфизма. Отметим, что редуцированный росток может менять ориентацию, да-же если исходный росток ее не менял; пример: JCi-*diag(-l; -1;

2; -2 6*- Ниже описываются бифуркации ростков диффеоморфизмов, а затем полученные результаты переводятся на язык дифференциальных уравнений.

Пятый параграф посвящен «конечногладкой» теории. В нем .исследуются нормальные формы локальных семейств векторных полей и диффеоморфизмов, к которым семейства могут быть приведены конечногладкой заменой координат в фазовом пространстве. Эти нормальные формы полезны для теории нелокальных бифуркаций и релаксационных колебаний.

Парарраф 6 посвящен теории Фейгенбаума, в основном, для леодномерных отображений.



§ 1. Бифуркации предельных циклов в типичных однопараметрических семействах

В однопараметрических семействах общего положения при отдельных значениях параметра встречаются предельные циклы, имеющие один мультипликатор", равный плюс или минус единице, или пару лежащих на единичной окружности комплексно сопряженных мультипликаторов ехр(±ш); остальные мультипликаторы не лежат на единичной окружности.

Бифуркации с прохож.дением через единичную окружность комплексно сопряженной пары мультипликаторов полезно изучать в двупараметрических семействах: перестройки, которые кажутся нелокальными при однопараметрическом подходе, поддаются исследованию локальными методами, если рассматривать задачу, как двупараметрическую (п. 1.5 ниже).

1.1. Мультипликатор I.

Определение. Главной однопараметрической деформацией ростка диффеоморфизма прямой в неподвижной точке с мультипликатором 1 называется одно из двух семейств

JC-JC-fx2-i-8 (1+)

хх + х-е. (1-)

Надстройкой седла (с s-мерным устойчивым и «-мерным неустойчивым многообразием, sO, мО) над семейством

x-*w{x, в)

называется семейство

(X, у, Z, и, v)-l{wx, е),у, -2, 2а, --2-о\,

{У. 2)eR {и, o)eR".

Теорема. В типичных однопараметрических семействах диффеоморфизмов встречаются только такие ростки диффеоморфизмов в неподвижной точке с мультипликатором I, которые с помощью гомеоморфизма приводятся к виду х х4-х. Деформации таких ростков в типичных семействах эквивалентны главным деформациям и нереальны.

Требования типичности. 1. Редуцированный росток диффеоморфизма с мультипликатором 1 имеет вид

х>--х -{-ах-\-.... xe(R. 0), афО.

2. Семейство трансверсально многообразию ростков, выделяемых предыдущим требованием.

> Напомним, что мультипликаторы - это собственные числа преобразования монодромни отображения трансверсальной циклу площадки в себя,



Замечание. Доказательство теоремы не просто. Кроме тоге, справедлива формулируемая ниже неожиданная «теорема о жесткости». Росток гладкого диффеоморфизма прямой в неподвижной точке X -*x+ax+..., афО, представим в виде сдвига за единичное время по фазовым кривым гладкого однозначно определенного векторного поля v, называемого порождающим: v(x) =ах+ ...

Теорема ([180]). Гомеоморфизм, сопрягающий типичные однопараметрические деформации ростков

f : хх+ах+ .... g: хх +Ьх+ .... x6(R, 0), аЬфО,

соответствующих нулевому значению параметра деформации е, гладок по X при ефО в проколотой окрестности нуля на прямой и сопрягает порождающие поля ростков fag.


Рис. 17. Орбиты групп степеней ростков диффеоморфизмов семейства (1+)

Бифуркации орбит диффеоморфизмов в главном семействе (1+) изображены на рис. 17. При отклонении е вправо от нуля неподвижная точка исчезает, а при отклонении влево распадается на две гиперболические: притягивающую н отталкивающую. Этой перестройке в соответствующем семействе дифференциальных уравнений на плоскости отвечает столкновение двух предельных циклов - устойчивого и неустойчивого с образованием на мгновение полуустойчивого цикла и последующим его исчезновением при е>0.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [11] 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

0.0055