Главная Промышленная автоматика.

§ 5. Показатели мягкой и жесткой потери устойчивости

Определяемые в этом параграфе показатели описывают скорость, с которой происходит потеря устойчивости в типичных л-параметрических семействах векторных полей при v3.

5.1. Определения. Пространство ростков вещественных векторных полей в особой точке разделяется на три части: область устойчивости, область неустойчивости и граница области устойчивости. Эта граница состоит из таких ростков, оператор линеаризации которых не имеет собственных значений строго в правой полуплоскости, яо имеет хотя бы одно собственное значение на ее границе.

Определение 1. Росток v векторного поля в особой точке О, принадлежащий границе области устойчивости, мягко теряет устойчивость при деформации V={x)e ебс:К*, ОВ, t)o=»}, если существует такая окрестность U особой точки О я такое семейство окрестностей {е е6\{0}}, стягивающееся к нулю при что

1. Окрестность U - поглощающая для всех полей v: каждая положительная полутраектория поля с началом в U целиком принадлежит U.

2. При ефО все положительные йЬлутраектории поля с началом в U попадают в и там остаются.

Определение 2. Росток v векторного поля в особой точ-.ке О, принадлежащей границе области, устойчивости, жесхко теряет устойчивость при деформации У={ю eCBciR*, ОВ, Vo= = v}, если существуют такая окрестность U особой точки О и определенное для всех достаточно малых ефО семейство начальных условий Хе, Хе->0 при 8->0, такос ЧТО положитсльная полутраектория поля с начальным условием Хе покидает окрестность U.

Определение 3. Число и называется показателем мягкой (жесткой) Потери устойчивости ростком v, если для любой деформации этого ростка существует такое С (зависящее от деформации и от метрики в фазовом пространстве и пространстве параметров), что окрестности 11 из определения 1 . (начальные условия из определения 2) принадлежат шару x<Ce Верхняя грань таких х называется максимальным -показателем мягкой (жесткой) потери устойчивости ростком.

Замечания. 1. Максимальный показатель не зависим ни от деформации, ни от метрики.

2. Асимптотически устойчивый росток всегда мягко теряет устойчивость [83].

3. Чем больше показатель мягкой потери устойчивости, тем медленнее с ростом е растут размеры аттрактора, заменившего особую точку, тем мягче теряется устойчивость.



Чем больше показатель -жесткой потери устойчивости, тем быстрее с убыванием е приближается к положению равновесия •«опасная зона» начальных условий, из которых решение выбрасывается за пределы фиксированной окрестности, тем жестче теряется устойчивость.

4. «Опасная зона» начальных условий при жесткой потере устойчивости может быть очень узкой; ее бывает нелегко обнаружить при вычислениях. в этом - существенная разница, между уравнениями, лежащими вблизи границы устойчивости,, и уравнениями, неустойчивыми по линейному приближению, с-большим инкрементом (максимальной вещественной частью собственного числа).

Пример. Бифуркация рождения цикла в однопараметрическом семействе общего положения сопровождается мягкой, или жесткой потерей устойчивости с показателем 1/2 (сми п.п. 2.2.2,3).

На формальном языке максимальные показатели г. и и определяются следующим образом. Пусть с (л:, е)-деформация ростка v(x,0) с особой точкой О, ф.е-траектория поля z)(, е) с началом л:Фж.е(0)=д:. Если росток г(-, е) устойчив, то существует поглощающая окрестность U положения равновесия. Если росток v{-,e) неустойчив, то существует такая окрестность С/ положения равновесия, для которой найдется положительная полутраектория со сколь угодно малым начальным условием,

покидающая U. В этих обочшиях

1п1Чж.е(01

Пусть £ (л:, е)-полуинтервал оси R являющийся «максимальной областью определения отрицательной полутраекторин "iPjr.E со значениями в 7»

Е{X, e){t<0\,(x)U при 1<х<Щ.

Тогда

In I Фх.е (О i

«.=lim sup -

5.2. Таблица показателей.

Теорема. в типичных трехпараметрических. семействах встречаются только такие ростки векторных полей в особой точке, лежащие на границе области устойчивости, которые принадлежат одному из классов, перечисленных в таблице 3 Если росток устойчив, он мягко теряет устойчивость, если не-



Таблица 3

Класс

Класс

3 4

2 j[

3= 4 1 /3

4 1 1

VP.o,/:o

>3

КМССЫ i4t.....Л, определены » (26, § 5, гл. 3J.

устойчив - жестко; соответствующие максимальные показатели тоже приведены в таблице.

В таблице 3 v - коразмерность вырождения, и+ - максимальный показатель мягкой, и- - жесткой потери устойчивости. Прочерк означает, что в рассматриваемом классе нет устойчивых ростков (встречаемых в трехпараметрических семействах общего положения). Перечисленные в таблице 3 классы определены в [26, § 5, гл. 3]. Напомним расшифровку некоторых обозначений. Нижний индекс в обозначении класса W "\ указывает размерность центрального многообразия; верхние символы до точки с запятой обозначают вырождения линейной части: О - нулевое собственное значение, / - пара чисто мнимых, / - нильпотентная жорданова клетка, порядок которой устанавливается по размерности центрального многообразия. Знак » после точки с запятой символизирует отсутствие вырождений в нелинейных членах; число нулей после точки с запятой равно числу вырождений в нелинейных членах.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [10] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

0.0048