Глава 1

БИФУРКАЦИИ ПОЛОЖЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ

Теория бифуркаций динамических систем описывает качественные, скачкообразные изменения фазовых портретов дифференциальных уравнений при непрерывном, плавном изменении параметров. Так, при потере устойчивости особой точкой может возникнуть предельный цикл, а при потере устойчивости предельным циклом - хаос. Такого рода изменения называются бифуркациями.

в этой и следующей главах рассматриваются только локальные бифуркации, то есть бифуркации фазовых портретов вблизи особых точек и предельных циклов.

в дифференциальных уравнениях, описывающих реальные физические явления, чаще всего встречаются особые точки и предельные циклы общего положения, то есть гиперболические. Однако встречаются и специальные классы дифференциальных уравнений, где дело обстоит иначе. Таковы, например, системы, обладающие симметриями, связанными с природой описываемого явления, а также гамильтоновы уравнения, обратимые системы, ураЬнения, сохраняющие фазовый объем. Так, например, рассмотрим однопараметрическое семейство динамических систем на прямой с симметрией второго порядка:

х = ю{х,г), -о(-л:, б) = -т-г»(хъ).

Типичная бифуркация симметричного положения равновесия в такой системе («трезубец») изображена на рис. I (v = =х{ъ-х)). Она состоит в том, что от теряющего устойчивость симметричного положения равновесия ответвляется два новых, менее симметричных, положения равновесия. При этом симметричное положение равновесия сохраняется, но теряет устойчивость.

Рис. 1. Бифуркация положений равновесия в симметричной системе

В типичном однопараметрическом семействе общих (несимметричных) систем трезубцы не встречаются. При типичном малом возмущении семейства (хотя бы чуть-чуть нарушающем симметрию) трезубец на рис. 1 превратится в одну из четырех

кривых (рис. 2). Из этих рисунков видно, что явления, происходящие при плавном, медленном изменении параметра в идеализированной строго симметричной системе и в возмущенной системе, качественно различны. Поэтому учет влияния малых нарушений симметрии необходим для анализа бифуркаций в симметричной системе, если такие нарушения вообще возможны. С другой стороны, иногда встречаются и строго симметричные по самой сути дела модели (таковы, например, нормальные формы; см. ниже § 3). В этих случаях необходимо исследовать бифуркации симметричных систем в классе возмущений, не нарушающих симметрии.

Рис. 2. Бифуркации положений равновесия в системе, близкой к симметричной

Вырожденные случаи неустранимы малым шевелением, если рассматривается не индивидуальное уравнение, а семейство уравнений. Поэтому при исследовании вырожденного случая основную ценность представляет не изучение индивидуального вырожденного уравнения, а анализ бифуркаций в семействах общего положения, в которых подобное вырождение встречается неустранимым образом. Технически это исследование проводится с помощью построения специальных - так называемых нереальных - деформаций, в некотором смысле содержащих все остальные.

§ 1. Семейства и деформации

В этом параграфе формулируются теоремы трансверсальности и «принцип сведения», позволяющий понижать размерность фазового пространства за счет своего рода отбрасывания несущественных (гиперболических) переменных.

1.1. Семейства векторных полей. Рассмотрим семейство дифференциальных уравнений

Область и называется фазовым пространством, В - пространством параметров (или базой семейства), V - семейством векторных полей на f/ с базой В. Всюду далее, если не оговорено противное, рассматриваются только гладкие семейства {v класса С~).

1.2. Пространство струй. Пусть U и W - области вещественно линейных пространств R" и R"*. Если в пространствах R"

и R" выбрать системы координат, то Л-струя отображения V-W в точке X будет задаваться векторным тейлоровским многочленом степени в точке х. Тем самым, множество всех fe-струй отображений U в W отождествляется с произведением С/Х X {пространство т-компонентных векторных многочленов от п переменных степени не больше k с принадлежащими W свободными членами} и потому является гладким многообразием. Многообразие k-струй отображений U в W обозначается через Р{и, W). , ,

Аналогично определяется многообразие Р{М, N) fe-струй отображений гладкого многообразия М в гладкое многообразие Л.

1.3. Лемма Сарда и теоремы трансверсальности. Рассмотрим гладкое отображение f: U-W. Точка-прообраз называется нерегулярной, если образ производной в этой точке - не все ка-сателньое пространство к образу:

Значение / в нерегулярной точке называется нерегулярным значением.

Лемма Сарда. Множество нерегулярных значений гладкого отображения имеет лебегову меру нуль.

На этой лемме основаны формулируемые ниже теоремы трансверсальности.

Определение. Два линейных подпространства X и Y линейного пространства L называются трансверсальными, если их прямая сумма есть все пространство: X@Y=L.

Всюду в этом пункте Л и S - гладкие многообразия, С - гладкое подмногообразие В.

Определение. Отображение / : А-В называется транс-версальным к С в точке с из А, если либо f (с) не принадлежит С, либо касательная плоскость к С в точке f(c) и образ касательной плоскости к л в точке с трансверсальны:

/,(a)TaA@TfaCTfaB.

Определение. Отображение / : А-В трансверсально к С, если оно трансверсально к С в каждой точке из многообразия - прообраза.

Замечание. Если dim Л--dim С< dim Б и отображение f:A-B трансверсально С, то пересечение f{A)(]C пусто.

Обозначим через C{U, W) пространство г-гладких отображений и в W.

Слабая теорема трансверсальности для областей пространства R". Пусть С - гладкое подмногообразие в W. В пространстве CiU, W) всюду плотное счетное пересечение открытых множеств" образуют .отображения