Главная Промышленная автоматика.

будут

дТЛ дТ, .....k).

j dq.

Легко применить этот метод ко всем задачам, рассмотренным ранее в теории относительного движения.

457. Смешанный метод Жильбера. Опираясь частично на теорию относительного движения, Жильбер использовал следующий метод. (Gilbert, Application de la methode de Lagrange a divers problemes de mouvement relatif, Annales de la Societe scientifique de Bruxelles, 1883.)

Пусть, как и раньше, требуется найти движение системы относительно осей Oxyz, совершающих известное движение. Предполагается, что положение системы относительно этих осей зависит от k геометрически независимых параметров q,, ft, . . ., ft и сумма возможных работ приложенных сил на перемещении bq,, 3ft.....Sft

предполагается по-прежнему равной

Qi + Q2 Ч- • • • Ч- Qk Чк-

Теперь надо выразить н U через единственный независимый параметр 6, для чего достаточно в найденных выше выражениях заменить координаты j и -г] их полученными здесь значениями. Тогда

7„ = I MP (б2 + 0)2 C0S2 6), и = Mgl sin 6, и уравнение движения будет

"dt (т ) + У 9 cos е = gl COS 8,

что совпадает с уравнением, найденным ранее другим путем (п. 420).

456. Второй способ, основанный на теории относительного движения. Допустим, что требуется найти движение системы, по отношению к осям Охуг, перемещающимся известным нам образом. Положение системы относительно этих осей зависит от некоторого числа геометрически независимых параметров q,, q, .... qu- С другой стороны, система находится под действием заданных сил, и если, дав параметрам приращения bq,, bq, .. ., 694, сообщить системе возможное перемещение, допускаемое связями, то сумма элементарных работ этих сил будет иметь вид

Qi4i-\-Qi4i+ •• -}-ЯкЦк-

Мы можем рассматривать движущиеся оси как неподвижные при условии присоединения к силам, действительно действующим на каждую точку массы т. переносных и кориолисовых сил инерции. Пусть

РхЦ1 + РгЦг+...+НиЦк

- сумма возможных работ этих фиктивных сил на перемещении 6ft, bq,... ...,iqic Тогда можно будет применить уравнения Лагранжа к движению системы относительно осей Охуг, рассматриваемых как неподвижные. Для этого нужно будет составить выражение 7" кинетической энергии системы в ее движении относительно этих осей; это выражение будет функцией от q,, qo.....ft-, ql, ft ••> Як может быть, времени t; уравнения Движения



Проведем через подвижное начало О вспомогательные оси Oxiyz,, параллельные неподвижным осям ОХоУг (рис. 265).

Можно рассматривать оси Охуг, как неподвижные при условии добавления к действительно приложенным силам только переносных сил инерции, так как оси Ох,у,г, движутся поступательно (п. 416). Если мы обозначим ускорение подвижного начала О через j, то переносная сила, которую нужно приложить в каждой точке, будет -mj. Обозначим через JxJyJz проекции ускорения j на оси Охуг. Тогда проекции переносной силы - mj на те же оси будут - mj, - mjy, - mJ,

и сумма работ этих сил на возможном перемещении, сообщенном системе, будет равна

- 2 /и Ux 4- Jy оу + у; Ьг),

где сумма распространена на все точки. Величины j, Jy, являются известными функциями времени t. Полагая

К= - m{xj~ yjy+zjz) = =.-M{\j. + Vy+,j,),



мы видим, что сумма возможных

работ переносных сил равна ЬК. 265.

При этом второе выражение для

функции К получилось путем введения всей массы М системы и координат I, ч] С центра тяжести G относительно осей Охуг. Из него еще следует, что

Л: = - Л1у-00 cosyOO.

Благодаря введению этих переносных сил мы можем рассматривать оси Ох,у,г, как неподвижные и применить уравнения Лагранжа к движению относительно этих осей, как если бы это движение было абсолютным. Обозначим через Т кинетическую энергию системы в движении относительно осей Охуг,. Уравнения движе-Иия будут

I дТ

\ dT

Qv +

Член

появляется вследствие добавления переносных сил инерции.

Действительно, возможная работа этих сил, равная ЬК, если выразить ее в функции переменных q,, q., . . ., qj, имеет вид

дК . , dK-, 09i + g«92-

дК dqk



314 динлм1жл СИСТЕМЫ

Если заданные силы имеют силовую функцию U, то

и правые части уравнений движения можно написать в виде

д (U 4- К) дд, •

Вычисление величины Т. Скорость точки т относительно осей Ox,y,Zi, рассматриваемых как неподвижные, есть результирующая ее относительной скорости г>г по отношению к осям Oxyz и ее переносной скорости v вместе с этими осями.

Проекции относительной скорости Vr на оси Охуг равны производным х, у, г; проекции v на те же оси равны дг - гу, гх-рг, ру - дх, так как при движении триэдра Охуг относительно осей Ох,у,г, начало О неподвижно; здесь, как и раньше, р, д, г обозначают составляющие по осям Охуг мгновенной угловой скорости вращения w подвижного триэдра Охуг.

Следовательно, имеем:

= Т S + Чг- ryf + {у -+ гх -pzf (г + ру- д-ЮЦ. Положим:

П = 4 S- уУ + (-Р+РУ -

Г = т[х{дг - гу) + у{гх-рг) + г(ру - дх)]. После этого можно написать

Величина есть кинетическая энергия системы в ее относительном движении относительно осей Oxyz; она непосредственно выражается через переменные д, и их производные д\

Величина представляет собой кинетическую энергию системы, вызванную ее переносным вращением вокруг мгновенной оси Ош триэдра Охуг; она имеет, следовательно, выражение

где Н-момент инерции материальной системы относительно оси От в момент t.

Наконец, для 7" можно написать

Т р 2 «{у г - г у) + 9 2 « izx - xz) + г 2 «(х/ - ух).





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 [99] 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0058