Главная Промышленная автоматика.

совпадающее с уравнением (6). Следовательно, для того чтобы а было равно нулю, необходимо, чтобы С = oiz-g. Резюмируя, мы можем сказать, что за исключением случая, когда л=1, круговое движение не будет устойчивым. Но оно становится устойчивым при л-f 3 положительном, если очень мало изменять начальные условия таким образом, чтобы не изменялась постоянная площадей.

Pai*<h этой книги не позволяют нам останавливаться далее на вопросе об устойчивости движения. За более глубоким исследованием мы отсылаем к Механике Рауса *) (advanced Part, гл. III).

V. Приложение уравнений Лагранжа к относительному движению

454. Первый способ, не связанный с теорией относительного движения. Для нахождения относительного движения системы по отнощению к осям Oxyz, совершающим известное движение, достаточно применить уравнения Лагранжа к абсолютному движению, выбирая в качестве параметров переменные q,, q,, . ., q, определяющие положение системы относительно подвижных осей. Эти же параметры определяют, очевидно, положение системы и относительно неподвижных осей Охуг, так как движение осей Oxyz известно.

Абсолютная кинетическая энергия системы будет функцией от q, q,.....q, q[, q,, . .,, 9 и, быть может, также от t. С другой стороны, если сообщить системе возможное перемещение, допускаемое связями, имеющими место в момент t, т. е. перемещение, которое получится, если, оставляя t постоянным, .сообщить параметрам q,, q,.....9j бесконечно малые произвольные приращения

bq,, bq,, . . ., bqji, то сумма работ приложенных сил, кроме реакций связей, будет выражаться следующим образом: Qi Si+ Q2 + • • • • •+Qft2%- Тогда уравнения движения будут

fT-PQ (Vl. 2.....k).

*) Cm. Ляпунов, Общая задача об устойчивости движения, Харьков, 1892. 3-е изд., Гостехиздат, 1950, а также Собрание сочинений, т. II, Изд-во Академии наук СССР, 1956. В этом сочинении дана общая постановка задачи устойчивости движения и разработаны основные приемы ее решения. В настоящее время этой задаче посвящена огрюмная литература, в том числе много учебников и монографий. (Прим. перев.)

мущенном движении постоянная площадей должна иметь такое же значение как и в круговом движении. В самом деле, если для возмущенного движения мы напищем интеграл площадей

(ro-f e>(a> + V) = C, то, пренебрегая в нем величинами и ет), получим уравнение



Если заданные силы имеют силовую функцию U, то вели-

гл < ди

чины Q, будут равны

Для вычисления 7"„ не обязательно составлять выражения абсолютных

координат в функции .....ft и t. Абсолютная скорость Va точки т

есть результирующая ее относительной скорости Vf по отношению к движущимся осям Oxyz и ее переносной скорости при движении вместе с этими осями. Если обозначить через х, у, z координаты точки т и штрихами-производные по времени, то проекции скорости на Oxyz будут х, у, z. Что касается переносной скорости v, то это будет скорость, которой обладала бы точка т, если бы она была связана с осями Oxyz. Она является, следовательно, результирующей двух скоростей: поступательной скорости V", равной и параллельной скорости точки О, и скорости, вызванной вращением с угловой скоростью о) вокруг некоторой оси, проходящей через точку О. Обозначая через V, V, проекции скорости V" и через р, q, г - проекции угловой скорости о) на подвижные оси, мы получим для проекции переносной скорости Vg на те же оси (п. 51) выражения V" -\- qz - ry, ... Следовательно, проекции абсолютной скорости точки т на подвижные оси Oxyz равны х V-\- qz - гу.....и мы имеем:

+ {y-VVl + rx- pzf + {z + Vl + py - qxf].

Это выражение позволяет вычислить Tg в функции ft, q., ft,

ft, ft, ft и t, так как координаты x, у, z различных точек суть функ-

. ции параметров ft, ft, .. , qjc и, быть

может, времени t, а V, Vy, V, р, q, г являются известными функциями времени.

455. Пример. Рассмотрим непо-движную вертикальную ось Оу и пло- скость Р, проходящую через эту ось

\в и вращающуюся вокруг нее с постоян-

j ной угловой скоростью ш. Найти движе-

JC, ние однородного тяжелого стержня, скользящего без трения по этой плоскости (рис. 264).

Требуется найти относительное движение стержня по отношению к осям Ох и Оу, проведенным в движущейся плоскости Р. Положение стержня относительно этих осей определяется тремя ?64. независимыми параметрами: координа-

тами 5, 1) центра тяжести G и углом 8 между стержнем АВ и линией Ох,, параллельной оси Ох. Абсолютная скорость какой-нибудь точки т стержня есть результирующая ее относительной скорости v, лежащей в плоскости дгОу, и ее переносной скорости Vg. Эта последняя является скоростью, которой обладала бы точка т, если бы она была неизменно связана с движущейся плоскостью. Следовательно, она равна ах, где Л - абсцисса точки т, и перпендикулярна к плоскости хОу. Таким образом,



где Mk - момент инерции Стержня относительно его центра G. С другой стороны, 2 v\ = 2 умма x ть момент инерции относительно оси Оу, который равен моменту инерции 2 пх\ относительно параллельной оси Оух, увеличенному на произведение всей массы на квадрат расстояния между осями Оу и Gy, т. е. увеличенному на Если через г обозначить расстояние тО, то расстояние х, от какой-нибудь точки т до оси Gyi есть Xi=±rcose и сумма тх\ равна cose" или Mk coss е. Следовательно,

2«fe = la.2(cos2 6+f2) и абсолютная кинетическая энергия окончательно принимает вид

Г<, = 1 М (£2 -4- Г)2 + fe2e2 -I- 0)22 C0S2 е -f 0)252).

Так как единственной заданной силой является вес Mg, приложенный в G, то существует силовая функция U = Mgr. Применяя последовательно уравнения Лагранжа к параметрам 5, -г], 6 и сокращая на М, получим три уравнения движения:

(£) - 0)25 = О, (г)) = g. 4 + fe2o)2 sin 6 cos 9 = О,

определяющие 5, т,, 9 в функции Л Сначала имеем

5 = Ле"* 4- Se-">«, г) = -i -2 а + D.

Эти уравнения определяют относительное движение центра тяжести. Третье уравнение, которое определяет 9 в функции t, уже встречалось у нас в задаче, рассмотренной в п. 366.

Следует отметить, что здесь Гд не будет однородным относительно S, т], 9. Это объясняется тем, что связи, наложенные на систему,, зависят от времени: стержень скользит в плоскости, . совершающей заданное движение.

Примечание. В предыдущем мы предполагали стержень свободным во вращающейся плоскости. Допустим, что два его конца А к В должны скользить по осям Ох и Оу, как в задаче п. 420. Тогда 5, т), 9 не будут независимыми и, обозначив через 21 длину стержня, получим

£ = / cos 9, 1) = / sin 9, fe2 = -i /2.

переносная и относительная скорости взаимно-перпендикулярны, и мы имеем В таком случае для абсолютной кинетической энергии Т, имеем

Вычислим оба члена отдельно. Относительное движение стержня является движением в плоскости хОу; кинетическая энергия в этом движении по теореме Кёнига будет





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 [98] 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.004