Главная Промышленная автоматика.

ft = М.1 cos {rt + pi) + sin {rt + a) +

ri - i 1 -

Следовательно, в члене интеграла, соответствующем возмущающей силе

период которой - равен периоду -р- одного из собственных колебаний

системы, время t имеется в качестве множителя. Таким образом, когда период одной из возмущающих сил стремится к периоду одного из простых собственных колебаний системы, амплитуда вынужденного колебания становится все больше и больше. В пределе вынужденное колебание сливается с соответствующим собственным, а амплитуда колебаний, пропорциональная t, неограниченно возрастает или, по крайней мере, выходит за пределы, в которых линейное приближение уравнений можно считать достаточным.

Эта теорема объясняет многие явления, называемые резонансом, например: возбуждение колебаний струны, когда воздух колеблется в унисон; избирательное поглощение световых и тепловых лучей средой, способной воспроизводить лучи, имеющие волну той же длины, и т. д.

Другое важное приложение встречается в возмущениях движения локомотивов. Масса машины, которую несут рессоры, образует систему, подверженную колебаниям определенного периода т. Возмущающие сила, происходящие от инерции движущихся частей, поршней, шатунов, кривошипов, дают сумму проекций или моментов, имеющих главным периодом продолжительность одного оборота колеса. Поэтому соответствующие возмущения должны проходить через максимум амплитуды, когда скорость локомотива такова, что его колеса делают один оборот за промежуток времени, равный периоду т колебания. (Vicaire, Comptes rendus, т. CXII, стр. 82.)

IV. Колебания около устойчивого движения

452. Общий метод. Уравнения Лагранжа позволяют изучить также малые колебания системы около состояния устойчивого движения. Следуя методу, подобному тому, который был применен при изучении малых колебаний около положения устойчивого равновесия, мы опять придем к интегрированию линейных уравнений, но эти уравнения уже не будут уравнениями с постоянными коэффициентами.

Пусть дана система, в которой связи могут зависеть от времени и положение которой определяется k геометрически независимыми параметрами. Уравнения движения будут

dt \ dq, j dq.

Допустим, что найдено частное решение

ft=/i(0. ft ==/2 (О..... ЯкШ)

этих уравнений, в которых постоянные интегрирования имеют определенные значения. Тогда мы имеем частное движение, которое

В котором а = Г1, будет иметь интегралом 2Г1



где Т и - функции от Sj, s,, . . ., Sj и от s[, s,, . . ., 5.

В этих новых параметрах частное движение, устойчивость которого мы желаем изучить, определяется равенствами

S] О, S2 == О, . . ., 5 = 0.

Оно получится, если предположить, что в момент = О параметры 5, и их производные s[ имеют значения, равные нулю. Придадим в начальный момент этим параметрам и их производным произвольные бесконечно малые значения. Требуется узнать, будет ли получающееся при этом движение бесконечно близким к предыдущему, т. е. таким, при котором величины s, s,, s. и s[, s,, остаются бесконечно малыми.

Предположив, что это будет так, и допустив, что Т, S,, Sj,. . ., 5

разлагаются в ряд по возрастающим положительным степеням s,, .....Sj.

и Sj, si.....sj., мы, сохранив в обеих частях уравнений только члены

первого порядка относительно этих величин и величин s, s,. . ., , найдем искомые уравнения. Так как полученные таким образом уравнения должны, по предположению, удовлетворяться при

S, - 2 - • . • - Sj -- О,

то они будут линейными и однородными относительно неизвестных и их первых и вторых производных.

453. Пример. Рассмотрим точку массы 1, притягиваемую неподвижным центром О пропорционально я-й степени расстояния:

F=:~-lr, м.>0.

будет соверщать система, когда в момент = 0 параметры q,, 92.....Як принимают значения /i(0), /2(0).....А(0), а производные q[, q,.....g -значения /(0), /(O)...../ДО). В этом случае говорят, что движение устойчиво, если система при произвольных начальных условиях, бесконечно близких к предыдущим, будет соверщать движение, бесконечно близкое к рассматриваемому частному движению. Можно узнать, будет ли рассматриваемое движение устойчиво, и одновременно найти бесконечно близкие движения, применяя следующий метод. Заменим параметры q,, q,, q новыми параметрами Sj, .....Sj, определяемыми из соотнощений

9i=/i(04-Si. 92 = /2(0 + «2. %=-AW + 5fc-

Уравнения движения Лагранжа примут вид



Если обозначить через г и в полярные координаты и применить уравнения Лагранжа, то уравнения движения будут

Г"-гй -r, -(ГЧ)=0. (2)

Они допускают частное решение

г = Го, е = /,<, е = /</. (3)

Как видно, траектория этого движения является окружностью с центром в точке О, описываемой с постоянной угловой скоростью. Выясним, будет ли это частное движение устойчивым. Положим с этой целью

г = Го + г, 6 = V + rj (4)

и посмотрим, будут ли е и Г) оставаться очень малыми, если они и их производные е и г) были очень малыми в начальный момент. При таком предположении будем рассматривать е и т] и их производные как малые величины первого порядка и будем пренебрегать их квадратами и произведениями. Подставляя значения (4) в уравнения движения (2) и обозначая

через (О постоянную величину ViJi.r", получим

е/иЗе -2ГоШГ) = -«("е, ГоГ + 2ие = 0. (5)

Правая часть первого уравнения является членом с первой степенью е

в разложении функции (х (Го + е)". Интегрируя второе из этих уравнений, получим

Г()У\ -\- 2(os =« аа>, (6)

где а - произвольная постоянная, которая очень мала, так как е и г) очень малы при t = 0. Исключая из уравнений (5) и (6) т], получим линейное уравнение с постоянными коэффициентами:

£" -f (л -f 3) а>4 = 2аа>2.

Если п -- 3 отрицательно или равно нулю, то общий интеграл этого уравнения будет содержать члены с показательными или алгебраическими функциями, неограниченно возрастающими вместе с /, и рассматриваемое круговое движение не будет устойчивым. Допустим, следовательно, что п-\-3 положительно. Тогда

E = 6cos (со/>"М+я) + -,

где 6 и а - произвольные постоянные, из которых первая очень мала. Следовательно, е остается очень малым, и поэтому г = г» -- е остается близким к Гр. Рассмотрим теперь уравнение (6). Заменяя в нем г только что найденным значением и интегрируя, получи.м

/-Q-O =--. sin (и/ Vn + 3 +«)+ "~ au>t + с, (7)

У п + З л -ЬЗ

где с -очень малая постоянная. Мы видим, что -rj содержит член с t. Следовательно, Y] неограниченно возрастает вместе с / и круговое движение не будет устойчивым. Исключение представится лишь в том случае, когда п === 1, так как тогда член с t исчезает. Если п отлично от 1, то для того, чтобы г] оставалось очень малым, необходимо будет подобрать начальные условия таким образом, чтобы а равнялось нулю. Это условие означает, что в воз-





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 [97] 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.004