Главная Промышленная автоматика.

q,=f,{t)-vf,{t) будут также рещением. Получается, таким образом, то, что называют наложением малых колебаний.

Не ссылаясь на теорию квадратичных форм, можно доказать, что корни уравнения для г вещественны. В самом деле, если бы уравнение допускало мнимый корень a-]-ib, то оно допускало бы и сопряженный корень а - ib. Соответствующие значения X, были бы также комплексно сопряженными. Тогда для параметров была бы найдена система частных вещественных решений вида

= (А, + Ш,) cos (а + гй) + (v - Jv) cos (а - ib) t,

или, в вещественной форме,

д = А, (е + cos at -f- В, (е* - е-) sin at.

Таким образом, существовало бы движение системы, в котором величины д, и их производные, будучи сколь угодно малыми в начальный момент, становились бы с течением времени сколь угодно большими, что противоречит условию устойчивости равновесия.

Из аналогичных рассуждений видно, что если уравнение для г имеет кратные корни, то время не может содержаться вне знаков синуса и косинуса, так как выражение вида

\it cos (rtр) становится бесконечно большим вместе с t.

К тем же результатам приводит и теория квадратичных форм. Если положить

то при любых значениях переменных форма 5 будет существенно положительной, а форма и существенно отрицательной и обе эти формы могут обратиться в нуль только при равенстве нулю всех переменных. Уравнения малых колебаний могут быть записаны в виде

dt-- \ dq., ) - dq, •

и уравнение (9), определяющее г, получится, если приравнять нулю дискриминант формы и + rS. Всегда можно при помощи линейной подстановки с постоянными коэффициентами, преобразующей старые переменные q,, q,...,qj в новые переменные s, ..., s, привести обе квадратичные формы к суммам квадратов:

Ssl-sl- ... +4. U:=-{rlsl-rlsl- ... -г14) Тогда кинетическая энергия будет

уравнения малых колебаний обратятся в следующие: dt [ds, I d.4,



dt \ dq[ )

дТ (v = l. 2.....k). (10)

dq, dq.

Мы предположим, что Т vl U приведены к тем же квадратичным формам, что и выше.

Возмущающие силы, будучи независимыми от тех, которые определяют равновесие, не будут в общем случае обращаться в нуль в положении равновесия, и поэтому разложение r, по степеням q, ft,..., ft и их производных будет содержать член, не зависящий от этих переменны.х, по отношению к которому последующие члены могут рассматриваться как малые величины, которыми можно пренебречь. Величины r, будут тогда функциями только времени. Мы будем их предполагать периодическими.

Уравнения движения (10) не будут, как прежде, линейными без правых частей, а будут теперь иметь в качестве правых частей периодические функции r,. Эти функции могут быть разложены в ряд по синусам и косинусам

R, = 2А, cos {at -f а) + 26, cos (6/ + j5) + ... + 2L, cos (It + л).

Отсюда

= - rls„ - (X, cos (rj 4- Р,).

Таким образом, мы непосредственно получаем уравнения малых колебаний в конечной форме с 2k произвольными постоянными (х, и р,. Переменные Sj, «2.....Sjc, которые нужно выбрать для приведения 7" и S к суммам

квадратов, называются, как указывалось выше, главными координатами.

Заканчивая, укажем на три заметки Бета (Beth), помещенные в Comptes rendus de IAcademie royale des Sciences dAmsterdam, и на статью Хорна (Horn) в Journal de Crelle, т. 131, стр. 224.

Примечание. Мы предполагали, что определитель величин a/j, являющийся дискриминантом формы S, отличен от нуля. В противном случае нужно будет сделать другой выбор системы параметров. Мы предполагали также, что разложение U по степеням q, q.....ft начинается с членов второго порядка. Если это разложение начинается с членов более высокого порядка, например четвертого или шестого, то уравнения малых колебаний не будут линейными.

451, Малые колебания, вызванные периодической возмущающей силой. Рассмотрим такую же систему, как и та, для которой мы только что исследовали малые колебания около положения устойчивого равновесия, соответствующего

ft = ft= ... =ft = 0.

Предположим, что к основным силам системы, имеющим силовую функцию и, которая в положении равновесия обращается в равный нулю максимум, прибавляются во время движения очень малые возмущающие силы, являющиеся функциями времени и в общем случае также функциями параметров ft, ft, ft и их производных.

Обозначим через X, У, Z ту силу, которая действует на точку с координатами X, у, г. Тогда на основании общей теории уравнений Лагранжа, если положить

уравнения движения будут



q, = (X, cos {r,t + p,) -j- cos (at + a) + - cos (6 -t- p) --,..

... +-cob(ltl) (. = 1.....k), (12)

где fx,, и Pv - произвольные постоянные. Следовательно, в этом случае простая возмущающая сила, соответствующая слагаемому

2А, cos (at + а)

в выражении R„ вводит в систему вынужденное колебание

г1-а

cos (at + а).

период которого равен периоду силы, а амплитуда не зависит от начальных условий, которые влияют только на постоянные (х, и р.,. Если а близко к г„

т. е. если период - простой возмущающей силы близок к периоду - а г,

одного из собственных колебаний системы, предоставленной самой себе,

то коэффициент --- становится большим числом и амплитуда колебания,

вводимого этой возмущающей силой, становится значительной. Это замечание дает возможность предугадать, что произойдет, когда одна из величин а, Ь, I будет равна одному из корней г,.

Допустим, например, что в равно г,, но отлично от г,, Гу н ни

одна из величин Ь, I не равна ни одному из корней г, г,.....г. Тогда

общие интегралы уравнений (11) для г = 2, 3.....k сохранят найденную

выше форму (12), но первое уравнение

+ r\q, Л, соъ (at а) + ... + Цсов (It+ 1),

где А.,, В.,.....а, b.....а, р, ... - постоянные. Мы буде.м говорить, что

каждый член в R., представляет собой простую возмущающую силу: первый - возмущающую силу с периодом -, второй - возмущающую силу

с периодом -т- и т. д. *

Допустим для простоты, что в качестве q, q,.....выбраны главные

координаты. Тогда, как мы видели, приближенные значения для Т и U будут

T==g+q"+ ... +qk. и-{г1ч1 + гЫ+ ... +41) и уравнения возмущенного движения будут иметь вид

q" + r%A,cosiat + a) + B,cos(bt + )+... +i,cos(/ + X) (И) (v = 1, 2.....k).

Общие интегралы этих уравнений будут иметь различную аналитическую форму в зависимости от того, будет ли одна из величин а, Ь, I равна г, или нет.

Допустим сначала, что ни одна из величин а, Ь..... / не равна ни одному

из корней Tj, г,.....г. Тогда общие интегралы уравнений (11) будут

иметь вид





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 [96] 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0036