Главная Промышленная автоматика.

2 4-a2cp22a;ecpcos(6 -<р) .

Для нахождения бесконечно малых колебаний достаточно взять в выражениях для и и Т только члены второго порядка:

Тогда уравнения Лагранжа будут

/26" + а/ср" = - /6, у а2<р" + а/в" = - ga-f.

Для интегрирования этих уравнений полагаем

6 = Xi cos (// + р), (р = Хз cos (л/ + р). Постоянные Xj и должны удовлетворять условиям

(/г2 - g)li-{-агЧг = О, Irh -f (I «/-2-g-)2 = О

и, следовательно, для /-2 получается уравнение

(lr-~g)(jar2-g-alr*0.

Это квадратное уравнение относительно /"2 имеет дад вещественных положительных корня, каждому из которых отвечает система частных рещений. Складывая эти решения, получим общие интегралы

в = аг%, cos {r,t + pj) + ari cos {rt + Pg),

<f = U - Irf) H cos {r,t + pi) -f - /r) (x, cos {rt -f Pa),

содержащие четыре постоянные jx,, (Xg, Pi, P2-

Например, если положить a= I, то для Г] и Гд получатся значения (2 + УЗ ), (2 - V3 ), откуда непосредственно получаются периоды

-, - обоих колебаний, из которых складываются малые движения.

Примечание. В предыдущей теории мы предполагали, что ас - 6 не равно нулю. Если же этот дискриминант равен нулю, то надо выбрать параметры иначе, а именно так, чтобы новое приближенное выражение энергии Т имело дискриминант, не равный нулю. Например, если взять точку, движущуюся на плоскости и имеющую в начале координат положение устойчивого равновесия, то в полярных координатах гиб получим дли Т выражение

r = --(r2-f Г2в"),

вокруг центра тяжести значение Maf. Теперь полная кинетическая энергия будет



дискрч.чинант которого обращается в нуль в положении равновесия. Взяв декартовы координаты, получим новое выражение

дискриминант которого не равен нулю.

Мы предполагали также, что разложение силовой функции U начинается с членов второго порядка относительно и q. Может случиться, что разложение функции и начинается с членов четного порядка (так как 6 = О является максимумом), но более высокого, например четвертого, так что

U-(aq\ + bqlq,+ ... + 69) + f/.

В этом случае изучение малых колебаний будет сложнее, так как уравнения, которые получатся, если пренебречь членом U,, не будут больше линейными. Общее движение не будет больше результирующим двух особых колебаний, каждое из которых имеет определенный период.

3°. Общий случай. Рассмотрим систему, подчиненную не зависящим от времени связям и находящуюся под действием сил, имеющих силовую функцию и. Будем предполагать, что существует такое положение устойчивого равновесия системы, для которого функция и обращается в максимум. Пусть q,, q,, q - параметры, определяющие положение системы. Мы допустим, что они, так же как и и, равны нулю в положении равновесия. Так как положение равновесия устойчиво, то если систему отклонить от положения равновесия и предоставить самой себе, то в течение всего времени

движения параметры q,, q,.....qj и их производные останутся

весьма малыми. Мы будем рассматривать все эти величины как малые величины первого порядка. Полная кинетическая энергия является квадратичной однородной функцией от всех q:

T-sx. (•ilj;::::)-

Каждый из коэффициентов Лу является функцией параметров q, обращающейся в а-, когда все эти параметры равны нулю. Следовательно, можно написать:

т % xt (ih 2. .... k\ Tla.q,q.+ T. 3.....kj = "

где Г, есть сумма малых величин, порядка выще второго.

С другой стороны, мы знаем, что нуль является максимумом функции и. Мы можем поэтому написать

где и, имеет порядок выще второго. Заметим, что так как знак выражений Т к О определяется знаком членов наинизщего порядка, то суммы, составляющие члены второго порядка, должны оставаться



d I дТ

дТ ди

dq, дд.

принимают тогда вид

«.Х+«.292 4- • +«.X = -(Mi+ •••

(v= 1, 2.....k).

Полученные нами к совместных дифференциальных уравнений являются линейными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами. Мы можем проинтегрировать их, положив

ft = XiCos(r-f-p)..... ft=:XfeCOs(r/ + p). (8)

Эти значения будут удовлетворять уравнениям Лагранжа, если будут выполняться равенства

Xi(l - r4l) + >2(2- 42)+ •• --4fc) = 0,

1 (hi - гаы) + 2 (hi - fea) + • • • +h ihk - rau) = 0.

Для того чтобы не все X равнялись нулю, необходимо, чтобы определитель этих линейных однородных уравнений равнялся нулю:

fell - гЯц Ьи - r2ai2 ... bih - rak

= 0. (9)

*М - гйй - ra!t2 ... bkk - riajtu

Это равенство, рассматриваемое как уравнение относительно г, определяет в общем случае для этой неизвестной k значений, а для неизвестной г определяет 2k попарно равных и противоположных по знаку значений. Но можно всегда считать г положительным, так как рещение (8) не изменяется, когда г и р меняют знаки. Положив г равным одному из этих k значений, например г„ можно будет определить все X в функции одной произвольной постоянной ]х, и получить систему решений (8), содержащую кроме [а, еще произвольную постоянную р,. Таким путем получится k систем частных решений дифференциальных уравнений, а их сумма есть общее решение, которое содержит, как и должно быть, 2k произвольных постоянных.

Таким образом, общее колебание является результирующим движением k частных колебаний, имеющих соответственно периоды

-.....- . Корни г,, Г2, . . /"ft являются инвариантами: нх зна-

1 fk

чения не зависят от выбора параметров.

Уравнения являются линейными. Поэтому, если имеются две системы частных рещений q,=f,(t) и =;ср, (), то функции

постоянно положительными в выражениях как для Г, так и для LJ (знак выражения U вынесен за скобку).

Наше приближение заключается в отбрасывании членов и Т,. Уравнения Лагранжа





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 [95] 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.004