Главная Промышленная автоматика.

где р., - произвольная постоянная. Таким образом получается решение

qi = Н {Ьг\ - р) cos {r,t pi), 2 = [1 (а - Я?) cos (,r,t + pi).

Второй корень мет аналогичное решение с другими постоянными [ij и р2. и мы получаем окончательно общие интегралы уравнений движения:

qx = Ъ {Ьг\ - cos {r,t 4- Р.) + ъ {Ьг\ - Р) COS {rt + Рз), j

92 = tl.l(a-a/-?)c0S(Aii;4-pi)4-IA2(a -«2)C0S(A2« + P2). }

со.иержащие четыре произвольные постоянные jii, [I2, pi и pg, которые определятся, если будут известны начальные значения параметров q, к q, и их производных q[ и q,.

Мы видим, таким образом, что движение около положения равновесия есть результирующее движение двух колебаний, периоды

Тогда оба уравнения Лагранжа обратятся в линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Для интегрирования этих уравнений положим

= X, cos {rt -f p). 2 = Xg cos {rt -f p). (4)

где Xj, Xg, r, p - постоянные. Подставляя эти значения в равенства (3) и сокращая на cos{rt-\-), получим

\{аг-а)-\-\{Ьг~)0, X,(ftr2 p) ( X2(cr2 -.f) = 0. (5)

Отсюда, исключая \ и Х,, получим биквадратное уравнение

(ал2 а)(сл2 .) (,;.2 р)2 = о. (6)

имеющее для г два вещественных и положительных значения, так как левая часть равенства (б) положительна при равном О и -со,

и отрицательна, когда равняется и Можно всегда считать г

положительным, так как решение (4) не изменяется при изменении знаков у л и р. Мы можем поэтому взять для г, и два положительных корня уравнения (6).

Если в уравнениях (5) заменить г одним из этих корней, то они приведутся к одному уравнению, например, к первому. Тогда, полагая г ~ г,, получим:

Xi Xj



t±[dS\ dU ul(dS\ i t [dqJ ~ dqi dfi \dqoJ \

df\dqj dqi dfi \dqoJ dq Сделаем линейную подстановку

qi - kiSi + hiSz, ft = 21 + Лзг-где Si и S2-новые параметры, a k,, hi, ko и Л.-постоянные.

2т1 271

которых равны соответственно- и -. Ьсли эти периоды соизмеримы

Il /"а

между собой, то движение будет периодическим. В противном случае система никогда не пройдет вторично через то же положение. Мы уже видели подобный пример, в п. 272.

Величины г, и Tj, имея, таким образом, определенный физический смысл, не зависят, очевидно, от выбора параметров и q. Они являются инвариантами задачи.

Частный случай. Когда мы доказывали, что уравнение (6) относительно л2 имеет два положительных корня, мы допускали, что,

подставляя в левую часть уравнения - и у. мы получаем для нее,

по крайней мере, один раз отрицательное значение. Это не будет иметь места, если

а - b - с - • где - положительная постоянная. Тогда уравнение (6) будет

(;-2 ;2)20,

и у него будут два равных между собой корня. Тем не менее общий интеграл не будет содержать t вне знаков синуса и косинуса. В самом деле, при рассматриваемых условиях уравнения движения (3) принимают вид

«K+A9l) + *K + *92)-=0,

(>{<i:-hkqi) + c{g;-i-kq,)=0.

и так как 1й - ас положительно, то эти уравнения приводятся к следующим:

Отсюда для общего интеграла получаем:

qi = Н cos (kt + pi), ft = [i.2 cos (kt + P2).

Теперь имеется только один период - для любого колебания.

Другой Метод. Эти результаты могут быть получены другим путем, если воспользоваться свойства.ми квадратичных форм. Рассмотрим две квадратичные формы

S = aql + 26ftft + cql U = - {aq + 2q,q + cqf) ,

при помощи которых уравнения движения можно написать в таком виде: rf2 Ids \ ди (dS \ dU



Можно определить коэффициенты подстановки таким образом, чтобы привести одновременно обе формы к суммам квадратов. Если рассматривать и 9з как декартовы координаты, то это все равно, что принять в качестве осей прямые, одновременно сопряженные с парами прямых S = О, U - 0. Таким путем получается

S = s? + 4 U=~{rlsl-rlsl).

Кинетическая энергия обращается теперь в Г = 5, , и уравнения дви-

жения принимают вид

2 " 2

S, = - rjSj, S2=~2*2

откуда, интегрируя, находим:

Si = H-i cos {rit + Pl), «2 = Ц2 COS (rt -\- Рз).

Можно заметить, что биквадратное уравнение для получается, если приравнять нулю дискриминант формы Ur-S.

Переменные и $2 называются главными переменными *).

Приложение. Рассмотрим однородный тяжелый стержень АВ длины 2а, подвешенный с помощью нити длины I к неподвижной точке О (рис. 263). Система перемещается в вертикальной плоскости хОу. Требуется найти бесконечно малые колебания около вертикали, которая является положением равновесия.

Положение системы зависит от двух углов 9 и ср, которые образует вертикаль Ох с направлениями нити и стержня. Эти параметры действительно обращаются в нуль в положении равновесия. Здесь существует силовая функция

и = Mgl + С.

где i - абсцисса центра тяжести G. Постоянной С, согласно предыдущей теории, нужно распорядиться таким Рис. 263.

образом, чтобы LI обращалось в нуль

в положении равновесия. Так как координатами центра тяжести являются S = ; cos в -j- А cos ср, 7] = / sin е -}- а sin ср,

то силовая функция будет

U = Mg[l(cos Ь-1) + а(cosср - 1)].

Вычислим теперь кинетическую энергию Т. Кинетическая энергия массы М, сосредоточенной в центре тяжести G, равна

1 М (52 + 7j2) = Y М [т + fl2cp2 4- 2а/вср cos (8 - <р)].

Зная выражение момента инерции однородного стержня относительно его центра, получаем для кинетической энергии во вращательном движении


*) Более распространенным для переменных и «2 является название главные или нормальные координаты. (Прим. пер.)





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 [94] 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0042