Главная Промышленная автоматика.

Пример. В двух неподвижных точках А я А (рис. 262), лежащих на горизонтальной оси Ох на одинаковых расстояниях О А = ОА - а от начала О, привязаны две невесомые нити AM и АМ одинаковой длины /, несущие однородный тяжелый стержень ММ длины 2а, равной АА. Этот стержень имеет в середине G бесконечно малое отверстие, через которое проходит ось Ог, направленная вертикально вверх. Система слегка отклоняется от своего положения равновесия ММ, я предоставляется самой себе без начальной скорости. Исследуем малые колебания.

Обозначим через в угол, образуемый в произвольный момент нитью AM с осью Ог, а через а - угол между осью Ох и проекцией РР стержня ММ

на плоскость хОу. Равнобедренный треугольник АОР и прямоугольный треугольник АМР дают соотношение

262.

/ sin е = 2а sin .

Положение системы зависит от единственного параметра 6, равного нулю в положении равновесия. Так как единственной заданной силой является вес, то, обозначая через С координату 0G = / cos в центра тяжести G, получим:

и = Mgl(cos Ь - \),

где постоянная определена таким образом, чтобы и обращалось в нуль при в = 0. Очевидно, что при этом значении 6 функция U имеет максимум. Разложим if по формуле Маклорена:

U=-Mgl- + Ui.

Порядок функции Ui относительно 6 больше двух. Вычислим Т по теореме Кёнига. Так как момент инерции Mk однородного стержня длины 2а относительно центра равен -i- Ма, то

Т= M(V + kia")= 1м(РЬ5\п2д+1 аау

Из написанного выше геометрического соотношения определим угол а: а = 2 arcsln sin ej. Дифференцируя, найдем а, после чего получим

Для колебаний конечных уравнение движения можно найти по теореме кинетической энергии Т = U -\-h. Но для бесконечно малых колебаний мы



Период малых колебаний равен 2я д-

Примечание. Выше мы предполагали, что если Т имеет вид qfiq), то /(0) не равно нулю. Если это условие не выполняется, то его можно осуществить преобразованием переменной. Допустим, в самом деле, что при малых значениях q будет

f(q) = qy {q), где -f (0) не равно нулю. Сделаем тогда подстановку

л 4-2 2 , , п+2

q q = s\ q= s , где s - новая переменная. Имеем:

Tq-qn,(q),,{A)s-,

И коэффициент при s уже не обращается в нуль при s == 0.

Мы предполагали также, что если коэффициент при q в выражении, полученном для Т, не обращается в нуль при = О, то разложение U (?) по формуле Маклорена начинается с члена 2, Но может случиться, что если и (q) имеет максимум при = О, То обращаются в нуль все производные от и до какого-нибудь нечетного порядка, выше первого, и первая неравная нулю производная будет четного порядка и отрицательная. Например, в простейшем случае так может получиться, когда

U(q) = -aqiUi,

где Ut содержит множителем q\ а коэффициент а положительный. Тогда, приводя Т к виду aq" и пренебрегая членом и,, получим .уравнение- движения в виде

aq" = - aqK (2)

В этом случае имеет место особое обстоятельство, которое не зависит от выбора переменной: период малых колебаний около положения равновесия изменяется вместе с амплитудой. В самом деле, поместим систему в положение, соответствующее q,, и предоставим ее.самой.себе без начальной скорости. Интегрируя равенство (2), получим

откуда определим t в функции q через эллиптическую квадратуру. Величина q колеблется между -и -Ьо- и продолжительность четверти

можем коэффициент при 6 в полученном выражении для Т приравнять его значению при 6 = О и приближенно принять

Г = -iмт, и = -Mgm.

Тогда уравнение движения на основании уравнения Лагранжа будет



периода колебания равна

где положено q = sft. Следовательно, этот период обратно пропорционален qp и становится бесконечно большим, когда q стремится к нулю.

2°. Система с двумя степенями свободы. Представим себе систему с не зависящими от времени связями, положение которой определяется двумя параметрами: q, и ft. Имеем:

T=Aq[+2Bq[q + Cql

где А, В, С - функции от ft и ft.

Мы будем предполагать, что параметры выбраны таким образом, что дискриминант АС-В? не обращается в нуль при ft = ft = 0. Тогда, разлагая коэффициенты Л, В, С в ряд Маклорена и обозначая через а, Ь, с значения этих коэффициентов при ft=ft = 0, получим:

T==aq\ + 2bq[q+cql+T„

где ?! есть величина третьего порядка относительно q,, ft, q\. q причем она обращается в нуль при 9, = ft = 0. Следовательно, при q, и ft, очень малых, Т имеет знак трехчлена, стоящего перед Г,, и так как Т существенно положительно, каковы бы ни были q[ и q[, то

а>0, с>0, *2 дс<0.

Рассмотрим теперь силовую функцию (/(ft, ft). При ft = ft = 0 эта функция обращается в нуль и имеет максимум; поэтому, разлагая ее в ряд Маклорена, получим:

и = - {щ\ + 2P9,ft + -г 9-) + и,.

где и, есть величина третьего порядка относительно q, и ft. Так как и должно быть отрицательно при любых достаточно малых-значениях ft и ft, то

а>0. т>0, p af<0.

Чтобы получить малые колебания около положения равновесия, мы пренебрежем функциями и приняв

T=aq4+2bq[q[+cq. i/==-K + 2pftft + T?)-





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 [93] 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0038