Главная Промышленная автоматика.

Пределы скоростей. Можно также указать и высшие пределы скоростей в течение всего времени движения. В самом деле, так как и отрицательно, вследствие того, что параметры остаются заключенными между ± 8, то

2 mv < 2Р.

Если обозначить через vi скорость точки массы /И;, то получим т<2Р. Щ

Если 8 очень мало, то очень малым будет и этот предел, так как при £, стремящемся к нулю, Р также стремится к нулю.

Можно получить более узкие пределы для скоростей, если заметить, что mv является положительной квадратичной формой 27" относительно q[, q,, .... q.j. Так как при этом 27"должно оставаться меньше чем 2Р, то отсюда вытекает, что q, q,, . . ., q остаются по абсолютным значениям меньше некоторой величины, которую в каждом отдельном случае можно установить.

Примечание I. Доказательство основано на существенном предположении, что функция и зависит от всех параметров qt, д-, qu- Если бы функция и зависела только от некоторых из них, например от q,, q, q, причем имела бы максимум и обращалась бы в нуль при q, - q,= q = 0 то положение, соответствующее значениям q, = О, 2 = О, q-j = 0, qi = а, ...

qi = ajc, где а, а, - произвольные постоянные, было бы положе-

нием равновесия, но это равновесие не было бы устойчивым. Если в этом случае немного отклонить систему от положения равновесия и сообщить ее точкам очень малые скорости, то получится движение, при котором q,, q, 9з останутся очень близкими к нулю, но остальные параметры q4, q-, qu уже не будут близкими к а, а, а. Однако скорости останутся по-прежнему очень малыми. Представим себе, например, тяжелое тело вращения, закрепленное в какой-нибудь точке его оси, и воспользуемся обозначения.ми п. 395. В этом случае существует силовая функция

и = ~ Mg. cos 9,

которая зависит только от 6, в то время как положение тела зависит от трех углов Эйлера 9, <f, ф. Функция U имеет максимум при 9 = п. Соответствующие положения тела, которых будет бесчисленное множество, являются положениями равновесия, что видно также непосредственно, так как ось вертикальна и центр тяжести находится под точкой подвеса. Но эти положения не будут устойчивыми в строгом смысле этого слова, так как если сообщить телу сколь угодно малое начальное вращение вокруг вертикали, то получится движение, при котором точки будут удаляться на конечные величины от их положений равновесия.

Примечание II. Обращение теоремы Лежен-Дирихле. Рассмотрим

ди ди

положение равновесия системы, при котором все производные -х-, -, ...

aq, oq

- равны нулю, но U не имеет максимума. Представляется вероятным, что соответствующее положение равновесия неустойчиво. Однако это



*) Русский перевод этой статьи помещен впервые во второ.м издании «Общей задачи) (Гостехиздат). (Прим. пер.)

*) Наиболее общие случаи рассмотрены в книге: Ч е т а е в Н. Г., Устойчивость движения, Гостехи.здат, 1946. (Прим. пер.)

предложение строго доказано лишь при некоторых ограничениях. [См. Ляпунов, Общая задача об устойчивости; Journal de mathematique de Jordan, 1896 *); Hadamard, работа, представленная Академии в 1896 г. и опубликованная в том же журнале в 1897 г.; Painleve, Comptes rendus, т. CXXV, стр. 1021; Hamel, Mathematische Annalen, т. LVIl, стр. 541; L. Si 11a, Rendiconti della R. Accaiemia dei Lincei, 5, т. XVll, 1903 **).]

Другие авторы, как Fejer (Crelle, т. 131) и Rethy (там же, т. 133), рассматривали устойчивость в сопротивляющейся среде.

450. Малые колебания. Рассмотрим, как и выше, систему с не зависящими от времени связями, положение которой Зависит от k геометрических параметров q,, q.....ft- Допустим, что приложенные силы имеют силовую функцию U (ft, ft, . . ., ft), зависящую от всех переменных ft, и что эта функция равна нулю и имеет максимум, когда все переменные q,{=;\, 2.....k) обращаются в нуль.

Соответствующее положение равновесия будет устойчиво. Мы ставим себе задачей изучить малые движения системы около этого положения. В этих малых движениях величины ft, ft, ft, а также и скорости остаются очень малыми. Следовательно, остаются очень малыми и производные ft, ft.....ft, так как кинетическая энергия является существенно положительной однородной функцией второй степени относительно производных ft. Мы начнем с простейшего случая, когда система имеет полные связи.

1°. Система с полными связями. Положение системы в разбираемом случае зависит от одного параметра q, который, по предположению, равен нулю в положении равновесия. Число k равно 1. Кинетическая энергия Т, будучи однородной функцией второй степени переменной q, имеет вид

7= 9V(?)-9[/(0)+-f/(0)+ ...

где предположено, что функция f{q) раскладывается в ряд Макло-рена. Допустим, что первый член разложения /(0) не равен нулю. Тогда этот первый член /(0) б)дет обязательно положительным, так как при очень малом q кинетическая энергия Г, которая существенно положительна, имеет знак первого члена /(0). Полагая /(0) = , напишем:

T=aq + T„

где Г, очень мало по сравнению с первым членом, так как оно содержит множителем qq.

Рассмотрим теперь силовую функцию U. По предположению, это - функция от q, обращающаяся в нуль и имеющая максимум



Т=ад\ и = -щ Тогда уравнение движения по Лагранжу

dq dq

£ (\ - -

dt\dq) - -

так как равно нулю, обратится в следующее:

af = -uq, q" = -r% (1)

где положено - = г. Интеграл этого уравнения будет

q - \cos{ rt-\-),

где X и р обозначают две произвольные постоянные, определяемые начальным положением, т. е. величиной д, и начальной скоростью 170• Период колебания системы равен . Постоянная г, имеющая определенный физический смысл, не будет, очевидно, зависет-ь от выбора параметра q.

Если начальные значения q и д. при = О суть а, и Ь,, то

д = а, cos -f- ~ sin rt.

Если в другом случае начальные значения д w. д будут а, и Ь, то для того же движения имеем:

q - a, cos rt--{-y sin rt.

Если, наконец, в третьем случае начальные значения д к д будут равны а,-\-а2 и bi-\-b2, то соответствующее выражение для будет

д = (а,- йг)cos rt + il±M

т. е. будет суммой двух предыдущих. Это свойство, являющееся следствием линейности уравнения движения, составляет то, что называют наложением малых колебаний.

при д=0. Если, следовательно, положить U = F(q) и если F{q) разложить в ряд Маклорена, то F (0) и F(0) будут равны нулю,

а F" (0), в общем случае, будет отрицательно. Полагая -/="(0) =

- - а, а > О, можем написать

U=. - oiqUi.

где и, - сумма последующих членов в разложении Маклорена. Следовательно, и, очень мало по сравнению с членом -cnq, так как оно содержит множителем q.

Для изучения малых колебаний можно пренебречь величинами и t/j и принять





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 [92] 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0038