Главная Промышленная автоматика.

272+7,,

dT \\ г, дТ , \гу , дТ , дТ dt дд dft dt

так как 7 зависит от / и непосредственно и через ft, ft. После сокращения имеем:

f,(T,-To) = Q,q[+ ... +Q,ft-f.

Если окажется, что величина Q,q[ -f- ... + Qqi-- равна

~ V{q,, /), то окончательно получим

Т.-Т, V+h.

Пять параметров, от которых зависит положение тела, суть 6, -ц, 6, tp, б. Чтобы получить уравнения движения, напишем сначала уравнения Лагранжа для четырех параметров £, т], tp,.tb. Так как ни Г, ни U не содержат этих параметров, то соответствующие уравнения Лагранжа будут:

±(Л\-о -(-L\-o -CUo -(Uo

дТ дТ дТ дТ Отсюда, приравнивая , -щ;, щ-,, щу постоянным, непосредственно

получим четыре первых интеграла. Таким образом, имеем интегралы:

= С = 0- f + 4 cos е = Го,

АУ sin2 е + С (tf + tb COS 6) cos 6 = К-

Остается написать последнее уравнение Лагранжа, соответствующее параметру т], но его можно заменить интегралом энергии Т = U h.

Таким образом получаются уравнения, непосредственно найденные в п. 407.

448. Интеграл Пенлеве, аналогичный интегралу энергии в некоторых случаях связей, зависящих от времени. В некоторых случаях можно образовать интеграл, аналогичный интегралу энергии, для связей, зависящих от времени. Для таких связей выражения х, у, г через ft, ft, 9j содержат t и кинетическая энергия Т в этом случае не будет однородной

относительно q,, ft.....як- Мы можем написать ее в виде 7= Г2+ Tl + 7о,

где Т2 обозначает совокупность членов второй степени относительно q , ft,..., q\, - совокупность членов первой степени относительно этих же величин и Тр - совокупность членов, не зависящих от этих величин. С помощью вычислений, аналогичных предыдущим (п. 445), по-прежнему имеем:

„ / , , d 1\Г ,дТ\ V "57 I дТ

Но, с одной стороны, по теореме об однородных функциях

j дТ

а с другой стороны.



Это, например, будет иметь место, если зависит только от t,

а Ql rfi + • • • + Ofc ЛЯк будет полным дифференциалом dU (q,.....qj)

некоторой функции, не зависящей от t. Интеграл в этом случае запишется в виде

где положено = F (t). (См. Р а i п 1 е v ё (Пенлеве), Le?ons sur Iintegra-flon des equations de la Mecanique, стр. 89.)

III. Малые колебания голономных систем около положения устойчивого равновесия

449. Устойчивость равновесия. Как мы знаем (п. 173), если связи голономной системы не зависят от времени и если заданные силы имеют силовую функцию U, то необходимыми и достаточными условиями равновесия будут

f = 0, f = 0..... 1 = 0,

dqi dq dqk

где Ql, .....% обозначают k независимых параметров, определяющих положение системы. Эти равенства являются необходимыми, но недостаточными условиями того, чтобы функция U имела максимум или минимум. Если в каком-нибудь положении системы функция и имеет максимум, то это положение является положением устойчивого равновесия. Эта теорема, высказанная еще Лагранжем, была доказана Лежен-Дирихле (Journal de Liouville) следующим образом.

Мы можем всегда предполагать, что значения параметров, соответствующих положению равновесия, суть = 0, 2 = 0.....Як--

и что для этих значений t/ = О, так как U определяется лишь с точностью до постоянной. Равновесие будет устойчивым, если, отклонив систему произвольным образом, но очень мало от ее положения равновесия и сообщив различным точкам очень малые начальные скорости, мы приведем систему в движение, при котором она очень М1Л0 будет отклоняться от этого положения равновесия. Скажем более точно. Пусть S - сколь угодно, малое наперед заданное положительное число; указанное положение равновесия будет устойчивым, когда при данном S можно найти такое достаточно малое положительное число тг, что если начальные значения параметров qi, q,, qj и скоростей различных точек системы будут по абсолютному значению меньше т], то в течение всего времени движения абсолютные значения q,.....qji будут меньше, чем е.

Напомнив это определение, допустим, что при q, = q,- ... ... = g = О функция и имеет максимум и равна нулю. Нужно доказать, что равновесие устойчиво. Так как U имеет максимум, то можно найти такое достаточно малое положительное число е, что для всех систем значений qi, q.....9, заключенных между -s



SmvT. "2--положительна. Кроме того, она может быть сделана сколь угодно малой, так как она непрерывна и обращается в нуль, когда все начальные значения параметров и все начальные скорости равны нулю. Точнее, можно всегда найти число tj, меньшее s и настолько малое, что

если q\, cf.....д» и tij, v\.....взяты по абсолютному значению

меньше чем т], то

Тогда из теоремы кинетической энергии получим:

<ир.

Если начальные значения параметров заключены между -f-s и -s, то во время движения ни один из них не может достигнуть этих пределов, так как, если они будут достигнуты хотя бы одним параметром, то U-\-P станет отрицательным и тогда отрицательной станет также и кинетическая энергия, что невозможно. Тем самым теорема доказана.

и -j-e или равных этим пределам, функция U отрицапельна, за исключением единственных значений q,=zq= ... =q=zzQ, при которых функция и равна нулю. Придадим, в частности, одной из переменных q, предельные значения + s, а всем остальным переменным q,.....Я-,+1, •••> Як дадим все возможные системы значений, заключенные между -(-s и -s или равные этим пределам. Пусть Р, - наибольшее значение функции U при таких значениях параметров. Р., будет положительным, отличным от нуля числом, так как при q,, равном ± е, функция U не может обращаться в,нуль, каковы бы ни были значения остальных параметров в указанных пределах. Делая

последовательно q,, ft.....ft равными ± е, мы получим таким

образом k положительных чисел Р,, Рг.....Рк- Обозначим наименьшее из них через Р. Тогда если один из параметров станет равным ± е, а остальные останутся заключенными между ± е, то обязательно будем иметь

(/< -Р. t/ + P<0.

Установив это, отклоним систему от положения равновесия, придав параметрам какие-нибудь значения , q.....q, заключенные

между ± е, и сообщив различным точкам начальные скорости х/, v, . . ., г/. Применяя к возникшему после этого движению теорему кинетической энергии, получаем





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 [91] 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0038