Главная Промышленная автоматика.

В силу теоремы Эйлера об однородных функциях выражение , дТ , дТ , дТ

dq, dq, * dq.

равно 2Т. С другой стороны, так как Т не содержит явно t, то dT дТ . , дТ „ . дТ , . . дТ ,

Поэтому

Ппл- JL-n п (2Г) dT dT Q,q, + ... +Qq=~--ШШ

что и является уравнением кинетической энергии.

Первый интеграл этого уравнения получается каждый раз, когда Q,dq,-\- ... -{-Qudqjc является полным дифференциалом функции U от q,.....qjc. Тогда имеем

dT = dU, T=U + h.

Такой результат получится, как мы видели, в том случае, когда заданные силы имеют силовую функцию

U{x„ у„ г,..... л:„, Zn).

Так как интеграл энергии является следствием уравнений Лагранжа, то можно упростить интегрирование последних, заменив наиболее сложное из них интегралом энергии.

Приведенные выше вычисления были выполнены при существенном предположении, что связи ие зависят от времени. В противном

Следовательно, уравнение кинетической энергии напишется так: ~T=Q,q[ + Q,q,-i- . . . -i-Q,q,,

Это равенство, будучи следствием принципа Даламбера, должно быть также следствием уравнений Лагранжа. В этом можно легко убедиться следующим образом. В рассматриваемом случае Т является однородным многочленом второй степени относительно q. Вычисляя на основании уравнений Лагранжа величину Qq[--\-Q,q,--\- . . . -{-Q/q, получим

, d дТ , , г d дТ , дТ , дТ



случае в уравнение изменения кинетической энергии вошла бы работа реакций, так как тогда нельзя более полагать, что координаты X, у, г, выраженные через q,, ..., q, не содержат явно времени t,

446. Задача. Два одинаковых однородных тяжелых стержня АВ и АВ, связанных концами А, шарнирно скользят без трения по горизонтальной плоскости (рис. 261). Найти движение системы (Лиценциатская).

Положение обоих стержней, соединенных вместе, зависит от четырех параметров. Мы определим положение стержней: 1° координатами 5, центра тяжести G, который находится на середине прямой СС, соединяющей середины обоих стержней; 2° углом 6, который образует прямая GA с осью х; 3° полууглом а между обоими стержнями. Легко убедиться, что этих четырех параметров достаточно, чтобы вполне определить положение

системы. Действительно, поместив где-нибудь центр тяжести G, проведем прямую GA, положение которой известно по углу 6; На этой прямой отложим GA = / cos а, где 21 - длина каждого из стержней. Отложив затем в точке А по ту или другую сторону от отрезка AG угол а, получим положения обоих стержней.

Найдем сначала выражение полной кинетической энергии. Она складывается из кинетической энергии

М (S2 + V)

массы 2М, сосредоточенной в центре тяжести, где М - масса каждого из стержней, и из кинетической энергии относительного движения системы вокруг центра тяжести. Чтобы найти кинетическую энергию одного из стержней, например АВ, в его относительном движении относительно осей Х1У1, параллельных осям ху и проходящих через точку G, мы воспользуемся той же теоремой. Эта кинетическая энергия равна кинетической


Рис. 261.

энергии массы М, помещенной в точке С, т. е.

-i М iPa. COS-а + Рв2 si(l2 а),

так как GC = г = I sin а, xGC = Ь-{- , увеличенной на кинетическую энергию стержня АВ в его вращательном движении вокруг точки С. Но эта последняя кинетическая энергия имеет выражение у(1 -

= Mk (6 - а)\ так как угол ш между стержнем и прямой Сх равен 9 - а.

Кинетическая энергия стержня АВ в его движении вокруг G получится, если заменить угол а углом - а. Складывая, найдем для полной кинетической энергии выражение

Г = М [£2 + 712 -1- (/2 C0S2 а + yfe2) а2 + (/2 sin2 а + /fe2) б].

В рассматриваемом случае единственными заданными силами являются силы тяжести, работа которых равна нулю. Следовательно, силовая функ-



(дТ\ дТ

приводится к виду (м) ~ Т и и яе содержат 9. Непосредственно

интегрируя, получим = const или

(/а sins а-f е= С. (I)

Мы могли бы написать также и уравнение для а, но оно будет очень сложным. Мы заменим его интегралом энергии, который здесь имеет вид Т = const, т. е.

(Z3 cos2 а + k"-) -f (Р sin2 а -f If) 9 = A\ (II)

поскольку S и ТГ) постоянны. Мы можем написать в правой части существенно положительную постоянную, так как левая часть является суммой квадратов. Уравнение (I) показывает, что знак 9 не меняется, так что прямая GA поворачивается вокруг G все время в одном и том же направлении. Кроме того, угловая скорость этого движения заключена обязательно С С

между - и . Подставляя значение 9, найденное из уравнения (I), в уравнение (II), получим;

а2 {f C0S2 <х -f /fe2) (Р sin2 аЩ = Sin а + 2yfe2 С\

Так как левая часть все время положительна, то и правая часть должна быть положительной. Если О-Лй отрицательно, то а. может, очевидно, принимать какие угодно значения, и стержни в зависимости от того, будет ди а положительным или отрицательным, будут либо раздвигаться, либо сближаться до тех пор, пока не произойдет столкновение {a-Q или а - тг): Если О - Ak положительно, то можно приравнять эту разность величине Psinp, где р -вещественная постоянная. В самом деле, -A-k" всегда меньше, чем АЧ\ так как в начальный момент, когда а = яц, величина я вещественна, и поэтому АЧ sin яц > - Лй*. Таким образом, условие, которому должен удовлетворять угол я, приводится к следующему:

sinS а > sin2 р,

так что а изменяется между р и jc - р и движение каждого стержня относительно GA будет теперь колебательным.

Если, наконец, C~Ak = 0, то я может принимать любые значения, но когда я будет стремиться к jc или к нулю, тогда t будет стремиться к бесконечности; обе прямые будут стремиться совпасть, но никогда этого не достигнут.

447. Тяжелое тело вращения, скользящее без трения по горизонтальной плоскости. Пользуясь обозначениями п. 407, получим для кинетической энергии

2Г = Л! («2 + г)) + [Л1/2 (9) + А] 62 + АУ sln 9 -f С (ср -f ф cos 9)1 и для силовой функции

L/-Mgti = -Mgf(6).

ЦИЯ есть и = 0 ч правые части уравнений Лагранжа равны нулю. Если мы напишем уравнение для координаты £, то получим = О, откуда £ = i. Точно

так же ИЗ уравнения для -ц имеем т] = т]. Следовательно, движение центра тяжести является -прямолинейным и равномерным, что непосредственно вытекает и из теоремы о движении центра, тяжести. Уравнение для 9





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 [90] 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0037