Главная Промышленная автоматика.

dfi dfi dfi dfi • dfi dfi

Ho проекции сил на подвижные оси будут такие же, как и на неподвижные. Следовательно, уравнения движения каждой точки, а поэтому и уравнения движения всей системы имеют тот же вид, как если бы оса Oxyz были неподвижны.

335. Общий случай, когда теоремы проекций и моментов количеств движения дают первый интеграл. Теорема, указанная Пеннакьетти (Реп-nachietti) для случая нитей и движения свободной точки, обобщена Котель-никовым на случай системы (Comptes rendus, т. XCVUl, стр. 129). Уравнения, выражающие эти теоремы для абсолютного движения, суть

Допустим, что существуют два постоянных вектора с проекциями а, Ь, с к р, д, г, причем таких, что внещнне силы удовлетворяют условию

+ 2 2 (--в - xZ) + r{xY,- уХ,) = 0. (2) Тогда имеем интеграл

так как производная левой части этого равенства обращается в нуль в силу соотношений (1) и принятого условия (2).

Соотношения (2) и (3) показывают, что если относительный момент (п. 28) системы внешних сил и системы некоторых двух постоянных векторов равен все время нулю, то относительный момент количеств движения и той же системы постоянных векторов остается постоянным.

координаты какой-нибудь точки системы относительно этих осей, а через х, у, z - ее абсолютные координаты. Имеем:

х=а-\-х, у = Ь-\-у, 2=:c-f-2.

Если точка О совершает прямолинейное а равномерное движение, то

dp dfi dfi

dx dx dy dY dz dz



П. Теорема кинетической энергии

336. Доказательство. Теорема кинетической энергии применялась впервые Гюйгенсом; в общем виде она была высказана Иваном и Даниилом Бернулли. Чтобы ее доказать, будем снова исходить из уравнений движений одной точки М системы

df-diy dfi

применяя к этой точке теорему кинетической энергии, мы имеем:

= S(i- + У++ S(-e+Уе<1уЛ-Z,dz). Суммируя затем все аналогичные уравнения, получим:

Сумма

\-YiX,dx+Y,dyZgdz). (1)

кинетических энергий всех точек системы называется кинетической энергией системы *). Имеем, следовательно, теорему:

Дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех сил, как внешних, так и внутренних.

Важно отметить, что работы внутренних сил не пропадают. В этом можно убедиться непосредственно. Действительно, рассмотрим две точки М и. М (рис. 189), расположенные на расстоянии г друг от друга. Действие М на Ж представляет собой некоторую силу, направленную вдоль ММ, и наоборот, действие М на М есть сила, равная и прямо противоположная первой. Согласно уже высказанному ранее условию (88) мы называем силой взаимодействия F двух точек общее значение обеих сил, взятое со знаком плюс или минус в зависимости от того, будут ли точки отталкиваться

Рис. 189.

*) В оригинале: «Сумма mv живых сил различных точек называется полной живой силой (Лейбниц)». {Прим. перев.)



или притягиваться. Если обе точки совершают произвольное бесконечно малое перемещение, то расстояние между ними изменяется на величину dr и сумма работ обеих сил, приложенных к рассматриваемым точкам, равна (88)

Fdr.

Мы будем для краткости говорить, что это - элементарная работа силы взаимодействия двух точек.

Отсюда следует, что если через Fjy. обозначить силу взаимодействия двух точек Mj и уИ, находящихся на расстоянии друг от друга, то сумма элементарных работ внутренних сил равна

2 2 (i dx+ Yi dy + Z, dz) = 2 Fjj, drj„,

где суммирование распространено на все парные комбинации точек системы.

Теорема кинетической энергии может быть теперь написана следующим образом:

d = S S + dy + Z, dz) + 2 Fj, drju. (2)

Рассмотрим движение системы за конечный промежуток времени t - В этом движении все величины, входящие в соотношение (1) или (2), суть функции времени. Следовательно, интегрируя от до t, получим:

2j - = fli(edx+Ye dyZ,dz)+ j 2 Fjj, dr.

to h

Таким образом, изменение кинетической энергии за промежуток времени t - равно сумме работ всех приложенных к системе сил, как внешних, так и внутренних.

337. Примечание о твердом теле. Если система является твердым телом в смысле, установленном в теоретической механике, т. е. является такой системой, все точки которой находятся на неизменных расстояниях друг от друга, то сумма элементарных работ всех внутренних сил равна нулю. Действительно, в этом случае расстояния rjjf постоянны и поэтому

drj==0 и FjdrjQ.

Следовательно, для твердого тела дифференциал кинетической энергии равен сумме элементарных работ только внешних сил.

338. Случай, когда взаимодействие двух точек системы зависит только от расстояния между ними. Если допустить, что сила взаимодействия Fjj двух произвольных точек Mj и есть





0 1 2 3 4 5 6 7 8 [9] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0037