Главная Промышленная автоматика.

dq dq dq dq

(« = 1. 2.....k).

Эти k уравнений совместно с (x уравнениями связей определяют k-\-)i. неизвестных q,, q.....ft, Xj, X2.....X„. в функции времени.

442. Первый пример. Задача. Найти движение системы, состоящей из двух одинаковых однородных тяжелых стержней АВ и АВ, связанных невесомой нитью такой же длины, как стержни. При этом прямая АВ вращается вокруг своей середины О, а вся система остается в неподвижной вертикальной плоскости.

Эта задача рассмотрена в п. 366 (пример V). Применяя использованные там обозначения, имеем

T = (2kY + l4).

Заданные силы имеют здесь силовую функцию

MgiMgl cos 9,

где через S обозначена высота центра тяжести О стержня АВ. Это следует из того, что сумма элементарных работ заданных сил приводится к работе Mg di веса стержня АВ.

Тогда уравнения Лагранжа относительно параметров (f и 8 будут

(2Мку) = О, (Af/28) = - Mgl sin 8.

Они совпадают с уравнениями, найденными непосредственно.

443. Уравнения Эйлера. Уравнения Лагранжа позволяют легко получить уравнения Эйлера для движения твердого тела вокруг неподвижной точки.

Используя прежние обозначения (п. 383), мы видим, что положение тела зависит от трех независимых параметров ф, 9, ср, а его кинетическая энергия выражается в виде

Г= 1(Л/>2н-В92 + С/-2),

где р, q, г выражаются через функции ф, 8, ср следующим образом; р = ({isin 8 sin ср -f- 8 cos ср, q = 4sin 6 cos ср - 9 sin ср, г = ср -[- ф cos 9. Что касается суммы работ заданных сил

которые показывают, что независимыми будут й - (л вариаций. Чтобы выразить, что уравнение

(Pi-Qi)4iH- ... +(Pk~Qk)bqk = 0

удовлетворяется при любых произвольных k - (j. вариациях, можно воспользоваться методом неопределенных множителей, при помощи которого мы получим уравнения движения в виде

а а а

ИЛИ, заменяя Р его значением.



в56 + Ф8ср + ЧгВф. Напишем уравнение Лагранжа по переменйой tp:

dt \(3ср /

д-f ~~ дг д

- - = Ф. d<f

дТ д1др дТдд . др dj

df ~ dp d<f dq dtf ~ d<f df

и согласно выражениям p и q имеем

= f cos cp sin 6 - 6sin cp = 9, щ = -р-

Следовательно,

и уравнение принимает вид

pq(A-B)

cft + (B-A)pq = Ф.

Остается показать, что Ф есть сумма TV моментов заданных сил относительно оси Oz. В самом деле, Фоср есть сумма возможных работ заданных сил на элементарном перемещении, получающемся при постоянных значениях ф и 9, т. е. при повороте на угол 5ср вокруг оси Oz. Но мы видели (п. 181), что если тело поворачивается на угол 5ср вокруг оси Oz, то для суммы работ заданных сил имеем:

Ф Sep = 2 (Х, Ьх, + Y, Ьу, + Z, 5г,,) = (-v - У-Л.) Ч

откуда

Ф=(х,У,-у.,Х,) = М. Мы имеем таким образом одно из уравнений Эйлера: C + (B-A)pq = N.

Но в рассматриваемом вопросе р, q, г играют совершенно одинаковую роль и только что написанное уравнение не содержит явно углов ф, в, ср. Отсюда на основании симметрии следует, что мы можем написать два других уравнения:

A+iC-B)qrL,

В + {А-С)гр = М.

Эти уравнения можно было бы вывести и из .уравнений Лагранжа по переменным 9 и ф. Но вычисления будут более сложными, чем для переменной ср, и ненужными.

444. Пример связей, зависящих от времени. Для рассмотрения примера, в котором связи зависят от времени, возьмем из п. 333 задачу о насекомом, движущемся по стержню.

то она принимает вид



Положение системы в момент t зависит от одного параметра - угла 6. Связи зависят от времени, так как движение насекомого по прямой задано наперед. Пользуясь обозначениями п. 333, получим для полной кинетической энергии, равной сумме кинетических энергий насекомого и стержня, формулу

2Т = тт + т (р2 + р2сс2). Выражения р и а показывают, что

v4 vfRi.ai

р = - , а = В --5-.

Р Р2

Подставляя р и а в выражение для Г, получим:

27 = гпт- + + от (рО + . .

где р - функция только времени t:

р = У д2 4- y2f2.

Так как работа сил, отличных от реакций связей, т. е. сил тяжести, равна нулю, то правые части уравнения Лагранжа также равны нулю. В рассматриваемом случае имеется только один параметр в и, следовательно, единственным уравнением движения будет

dt\d9] (39,

.или, так как Т не содержит 6, то = const,

кЧ + р29 + V i к- Ф = с.

Постоянная с должна быть определена из начальных условий. Для начальных условий, указанных в п. 333, нужно принять с = О, после чего вновь лолучится уравнение, выведенное непосредственно.

И. Приложения уравнений Лагранжа

445. Интеграл энергии. Если связи не зависят от времени и осуществляются без трения, то теорема кинетической энергии выражается уравнением

в которое входят элементарные работы только заданных сил. В частности, если эти силы имеют силовую функцию V, то существует интеграл энергии Т =.и-\-h. Эти теоремы легко установить вновь, исходя из уравнений Лагранжа.

Когда связи не зависят от времени, можно всегда выбрать параметры ft, ft.....ft таким образом, чтобы координаты х, у, г,

выраженные через эти параметры, не содержали явно времени t. При этих условиях имеем:

dx = -dq,+ ... ...

Yiidx+Ydy-i-Zdz)Q,dq, + Qdq+ ... + Q, rfft.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 [89] 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0038