Главная Промышленная автоматика.

Опуская для сокращения письма индекс v, мы можем написать-idxdx . dy ду dz dz\

--Zi[dt dq~dt dqdt dqj-

I d~ d

iUt dt, dt dt Ш~аГ]

Если мы обозначим через х, у, z производные

то выражение Р„ примет вид

Считая все функциями времени, обозначим через q\, q,.....q

производные от q, q,.....q, no времени t. Дифференцируя уравнения (1), получим

, дх I . дх I . , дх , , дх

dq, dq, dq " dt

Если рассматривать x как функции от q, q и t, то непосредственно найдем:

дх дх dQa dq

Точно так же имеем:

ду ду дг дг

dqa~dq dq[~dq

Выражение примет теперь вид

, дх

.ду , , dz\

dt dt

Для преобразования второй скобки заметим, что d

dt I

dqdq, l""" dqdq,

я+ ...

йх , , d-ix

dq дЯк

dqdt •

так как щ- есть функция переменных q,. q,.....q,, t. Непосредственная проверка показывает, что это выражение тождественно



.ду д

,и аналогично получается

dt dq dt ~dq-

Тогда имеем

V „/ ду , дг\

dt \ dq dq dqj

Пусть теперь Т - полная кинетическая энергия системы:

Рассматривая Т как функцию переменных ft, q, .... q, qy ... .... q, t, мы видим, что суммы, входящие в выражение для Р„, дТ дТ „

равны соответственно -и -. Следовательно, имеем dq„. dq

и уравнения движения принимают вид

d 1дТ \ дТ / , о «.ч

Эти уравнения и называются уравнениями Лагранжа.

Здесь Т есть функция второй степени относительно q, q, ... ..., ql. Поэтому полученные уравнения являются уравнениями второго порядка. Они определяют ft, ft, ..., ft в функции времени и 2k произвольных постоянных. Заметим, что в случае, когда связи не зависят от времени, можно сделать так, чтобы выражения (1) для координат не содержали явно времени. Тогда функция Т будет однородной и второй степени относительно q[, q.....qj.

Кроме того, это - величина, существенно положительная по самому своему определению. Следовательно, Т будет тогда определенной положительной квадратичной формой относительно q,..., q.

Чтобы вычислить все Q, надо в общем случае составить выражение суммы возможных работ заданных сил для наиболее общего

с производной от х по ft:

дх dt dq„



и уравнения Лагранжа принимают вид

Л dt

Эта же форма сохранится и тогда, когда X,, Y„ Z, будут частными производными по х,, у,, г, функции U (х,, у,, z,, ... . . ., х„, Уп, Zn, t), явно содержащей время. В этом можно убедиться, производя такие же вычисления.

Замечание. Вычисления, которые были сделаны для нахождения выражения при помощи функции Т, не предполагают, что параметры q независимы. Эти вычисления не изменятся, если ввести новые связи, выражаемые соотношениями

gl (Чь 92.....О = о,

go(qi, qo, qu, 0 = 0,

............I

SiQi- 92. 0 = 0. J

Действительно, предположение о независи.мости параметров было сделано лишь для вывода из уравнения (2) формул

Qi-Pi = 0, Q,-P2 = 0, .... Qft-PA: = 0.

Число (x новых условий должно быть, очевидно, меньше к. Тогда вариации параметров будут связаны между собой соотношениями

dq, dq., dqi, •

dq, ""й., "- i Sq,

перемещения, допускаемого связями в момент t. Эта сумма, как мы ТОЛЬКО что видели, равна Qi8i-- ... H-QftSfe- Если нужно найти какое-нибудь одно Q„, то достаточно рассмотреть возможное перемещение, которое получится, если оставить постоянными t и все q, кроме q, которое нужно изменить на 8. Тогда сумма работ заданных сил будет равна Qbq.

Величины принимают замечательный вид, когда заданные силы имеют силовую функцию. Эта функция U(х,, у,, z,, x„, у„, 2„) может быть выражена через q,, q,, . . ., q, t, и тогда будет

dq 2u \дх, dq + ду dq dz, dqj

v л/ v dU dU dU „

По условию величины X,, Y,, Z, равны j-, . Имеем, сле-

довательно,





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 [88] 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0036