Главная Промышленная автоматика.

д ds

-i ds\

dsj dfi

где мы пишем круглое д, чтобы отметить, что речь идет о частных произ-

водных. Эти три уравнения совместно с уравнением 11 +11 ~

= 1 определяют х, у, г, в функции snt. Величина р. является заданной функцией S.

Если М есть радиус-вектор точки с координатами л:, у, г и F-сила с проекциями X, Y, Z, то можно также написать:

Написав, что имеет место равновесие между действительно приложенными силами X, Y, Z я силами инерции, получим:



ГЛАВА XXIV ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ

440. Содержание главы. Для определения движения системы бе» трения с k степенями свободы, находящейся под действием заданных сил, необходимо проинтегрировать систему дифференциальных уравнений, общий вид которых был указан в предыдущей главе (пп. 433 и 434).

В настоящей главе мы рассмотрим более простые методы составления уравнений движения. Эти методы будут различными в зависимости от того, будет ли система голономной или нет.

Мы исследуем сначала голономные системы как наиболее простые. Для движения этих систем мы укажем форму уравнений, данную Лагранжем. Пусть q,, .....q-координаты голономной системы и q[, q,, .... qj - их производные по времени при ее движении. Мы покажем, по Лагранжу, что можно написать уравнения движения, если известно выражение кинетической энергии или энергии скоростей

в функции переменных q., q,, . . ., q, q[, q,.....9 и .

Мы увидим дальще, что для системы неюлономной знания кинетической энергии недостаточно для определения уравнений движения.

Пусть q,, q,.....9 -параметры, произвольные вариации которых

bq,, bq,, .. .., bq определяют наиболее общее возможное перемещение системы, q[, q,.....5 и q", q.....q"j - их первые и вторые производные по времени при движении системы, j-ускорение точки массы т. Мы покажем, что можно написать уравнения движения, если известно выражение величины

1 mj

В функции переменных q, q,, q, q[, q,.....q q, q, , ql

и t. Эта функция 5, образованная из ускорений, так же как функция Т из скоростей, может быть названа энергией ускорений системы.



X, == ?v (Яи Яг- • • •. Як- О.

У. = <ЛЯи Яг.....ft. t),

г, = ч>ЛЯ1, Яг.....Як ()

Пусть связи выражаются уравнениями такого вида, как уравнения (6) в п. 434. Тогда соотношения (1) считаются такими, что если определяемые ими значения координат х„ у,, подставить в уравнения связей, то последние удовлетворяются тождественно при любых значениях переменных ft, ft.....ft, t.

Если величинам q,, ft, . . ., ft сообщить произвольные бесконечно малые приращения 8ft, 8ft.....8ft, то получится наиболее общее

возможное перемещение системы, допускаемое связями в момент i:

8x, = f8ft+8ft+...+.8ft,

и две аналогичные формулы для 8 у, и 82,. Подставляя эти значения в общее уравнение динамики (п. 431), получим уравнение вида

(Р, - Qi) bq, + (Р - Q) 8ft + • • + (Рк - Qk) Цк. = О, (2) где для краткости положено:

от,,

/dx., дх., dy, ду, . dz, dz, ~dfi dq~ 4W dq

\ дх, у dj у дл ""dqj-dq-dqy

Уравнение (2) должно иметь место, каковы бы ни были 8ft, 8ft, ... .. ., 8ft, поскольку оно справедливо для всех возможных перемещений, допускаемых связями. Оно распадается поэтому на k уравнений:

Qi-/1 = 0, 02-2 = 0. .... Qfc-Pft = o. (3)

Выражения Р можно преобразовать так же, как мы это делали для одной материальной точки (п. 282).

I. Голономные системы. Уравнения Лагранжа

441. Приведение уравнений движения к наименьшему числу в системах без трения. Рассмотрим, как и прежде, систему из п точек, подчиненную таким связям, что с геометрической точки зрения положение системы в любой момент времени определяется k геометрически независимыми между собой параметрами q,, q, . . ., ft. Тогда координаты каждой точки системы можно выразить в функции этих параметров. В общем случае, когда связи содержат время,

координаты различных точек, выраженные в функции q,, ft.....ft,

содержат время t:





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 [87] 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0039