Главная Промышленная автоматика.

Если связи допускают в каждый момент времени вращательное движение системы вокруг неподвижной оси, то производная по времени от суммы моментов количеств движения относительно этой оси равна сумме моментов заданных сил относительно той же оси.

Заметим, что эта теорема является частным случаем теоремы моментов количеств движения, причем таким, когда в ее выражение вместо всех внешних сил, входят силы только заданные.

438. Частный случай теоремы кинетической энергии. Допустим, наконец, что связи не зависят от времени. Тогда среди перемешений, допускаемых связями, находится действительное перемещение dx„ dy,, dz, и в уравнении (12) можно заменить 8л;,, Ьу„ Ьг, через dx„ dy,, dz,.

Таким путем мы получим

т, dx, + + dz,) = 2 (X, dx,+Y, dy,+Z, dz,),

d 2; = S (-v rfx, + Y, dy, + Z, dz,). Следовательно;

Если связи являются не зависящими от времени, то дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ заданных сил.

Это - частный случай теоремы кинетической энергии (п. 336).

Эту теорему можно проверить, исходя из уравнений движения, полученных методом множителей Лагранжа [уравнения (11) п. 435].

Состави.м из этих уравнений уравнение кинетической энергии. Тогда, располагая члены в порядке множителей X, получим:

d = (X,dx, + Y, dy, + Z, dz,) +

и если уравнения /j = О, /а = О.....Д = О не содержат явно времени t, то

коэффициенты при X равны нулю. Если Д содержит t, то коэффициент при \,

будет равен не нулю, а -dt.

III. Приложение принципа Даламбера к случаю трения скольжения

439. Метод и пример. Рассмотрим систему, на которую наложены связи двух видов:

Г. Связи L без трения, зависящие или не зависящие от времени. 2°. Связи L, заключающиеся в том, что некоторые точки т,, т,, ...,тр вынуждены скользить с трением по заданным поверхностям S,, Sp.



(5 -xi)m + 2jM- (.x - xO~ - (y-yi)

= 0,

dfi dfi

где сумма распространена на все точки. Замечая, что величины

Srf2y / d2y dix \ d4

и 2f).lx -j--у j равны соответственно величинам m -

m -~- и -m(k-\- fi) , и заменяя x,, i, r) их значениями, мы получим после сокращений уравнение (5) п. 371 (пример III).

dfi d4 dfi

Полная реакция поверхности S,, действующая на точку т,, является равнодействующей нормальной силы и касательной силы (трение), направленной в сторону, противоположную скорости точки и равной fiNi, где Д -коэффициент трения по поверхности S,. Точно так же получаются полные реакции R, ..., Rp других поверхностей на другие точки т, Шр.

По принципу Даламбера в каждый момент существует равновесие между силами инерции, заданными силами, реакциями связей L без трения и реакциями Ri, Rp связей L.

Если, следовательно, системе сообщить произвольное возможное перемещение, то сумма работ всех сил, включая реакции связей, равна нулю. Но если, в частности, сообщить системе произвольное перемещение, допускаемое связями L без трения и такое, что каждая точка т,, Шр вынуждена

перемещаться нормально к соответствующей полной реакции R,.....Rp, то

сумма работ реакций связей L и сил R,, R.....Rp будет отдельно равна

нулю, и поэтому будет равна нулю также сумма работ заданных сил и сил-инерции. Следовательно, уравнения движения получатся, если написать, что для всех возможных перемещений, которые допускаются связями Z, и в которых каждая точка т,, .....тр перемещается нормально к соответствующей полной реакции R„ сумма работ заданных сил и сил инерции равна нулю. (Аппель, Comptes rendus, т. CX1V, 1892, стр. 331.)

Пример. С этой точки зрения рассмотрим еще раз задачу II! п. 371 (рис. 214). В sToft задаче точки Л и В скользят с трением по осям Ох и Оу. Полная реакция R оси Ох, действующая на точку А, является биссектрисой угла NAN, а полная реакция R оси Оу, действующая на точку В, является биссектрисой угла NBN.

Чтобы получить возможное перемещение лестницы, при котором работы реакций R и R равны нулю, нужно сообщить ей такое возможное перемещение, при котором А и В перемещаются нормально к реакциям R и R. По свойству мгновенного центра вращения это приводится к тому, чтобы повернуть лестницу на бесконечно малый угол вокруг точки / пересечения реакций R и R. Так как уравнения прямых, вдоль которых направлены эти реакции, суть

X - 2/ sin а у = о, X - у + 2/ cos а = О,

то для координат точки / имеем:

Х, = / (sin а - cos а), У1 = / (sin а cos а).

Теперь нужно выразить, что при возможном перемещении, которое получится, если прямую АВ повернуть вокруг точки / на бесконечно малый угол, сумма работ веса и сил инерции равна нулю. Это означает, что равна нулю сумма моментов относительно точки / веса и сил инерции. Если обозначить через т всю массу лестницы и через (л массу точки лестницы с координатами х и у, то получим



где X, У, Z-проекции внешней силы, отнесенной к единице длины. Проекции силы инерции элемента ds с массой p..ds равны

, дх -ds-,,...

Следовательно, проекции силы инерции, приходящейся на единицу длины, равны

&х -!Ж2---

УПРАЖНЕНИЯ

1. Твердое тело вращается вокруг оси Ог с переменной угловой скоростью О). Вычислить для момента t главный вектор сил инерции и главный момент этих сил относительно точки О.

Ответ. Согласно вычислениям п. 360 для проекций главного вектора сил инерции получаются формулы:

-1 = - S ё S ""- + S Ki = ш2 2/пу - О)2 Zi = 0, а для проекции главного момента сил инерции-формулы:

Afi = 0)2 2 тхг + О) 2 туг, Ni= - Mk-a,

где (1) - производная от m по t.

2. Найти условия, при которых силы инерции твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, приводятся к одной равнодействующей.

Ответ. Необходимо, чтобы центр тяжести не лежал на оси и чтобы -\- Y\ не было равно нулю; кроме того, нужно, чтобы

/:л + л1,К1 + ад = о,

т. е. чтобы

(о)2 о)2) (2 тх туг-туУ тхг) = 0.

Так как первый множитель не равен нулю, то нулю должен быть равен второй множитель. Равенство нулю этого второго множителя выражает, что ось вращения является главной осью инерции для одной из своих точек.

3. Найти условия, при которых силы инерции точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, приводятся к одной паре.

Ответ. Необходимо и достаточно, чтобы было X, =0, У, - О, откуда 2 тх = О, 2 "У = 0. Центр тяжести должен лежать на оси.

4. Вывести из принципа Даламбера уравнения движения нити.

Пусть ds - элемент дуги нити, р. -его линейная плотность, х, у, г - €Г0 координаты. Если дугу s отсчитывать, например, от конца нити, то координаты элемента ds при движении будут функциями независимых переменных S и

Уравнения равновесия суть





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 [86] 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0037