Главная Промышленная автоматика.

полные вариации функций .... Д. Таким образом, получаются

следующие уравнения, которым при возможном перемещении системы должны удовлетворять все 8л;„ Ьу„ bz,:

ЯАьх,-

дх, 1

-S.„ = 0.

(10)

Н " дг„

Нужно заметить, что когда связи зависят от времени, действительное перемещение системы не входит в число рассматриваемых здесь возможных перемещений. Например, при движении точки М,

перемещающейся по некото-рой кривой С (рис. 260), которая в свою очередь совершает заданное движение, единственным возможным перемещением, допускаемым связями в момент t, является перемещение ММ, совершаемое по кривой С в положении, которое эта кривая занимает в момент t. Но в момент t -\- dt кривая С перейдет в положение С и движущаяся точка будет находиться в точке М, этой кривой. Следовательно, действительное перемещение ММ, не будет в общем случае совпадать с возможным перемещением. Вообще действительное перемещение dXy. dy,, dZy, . .., dx„, dy„, dz„ системы удовлетворяет соотношениям:


Рис. 260.

-Uxy + dyy.

(j= 1, 2.....h).

dh dt

Oho, следовательно, не заключено среди рассматриваемых возможных перемещений, которые должны удовлетворять условиям (10),

если только не все выражения -~- равны нулю, что имеет место,

когда связи не зависят от времени.

Как мы уже говорили, уравнения (10) показывают, что среди Зп вариаций Ьх„ Ьу,, Ьг, только k вариаций будут независимыми, а остальные h будут выражены линейно из уравнений (10) в функции этих k независимых вариаций. Мы могли бы подставить полученные таким образом значения в общее уравнение динамики (1), которое должно было бы после этого удовлетворяться при любых значениях произвольных вариаций. Будет, однако, проще применить метод множителей Лагранжа. Тогда при помощи вычислений, аналогичных тем, которые мы уже делали в случае равновесия (п. 177),



cf-x,, dP

= x. + K

dx, "1" •

•• +K

.dfn dx.

d-y., dfl

dA , dy,

dy.,

d-z, df

dA , dz, + •

-i-h

dfn dz.

если в уравнениях равновесия заменить величины X,, Z, величинами:

X.. - т.

Z„ -m.

diz, df

Мы получим, таким образом, по три уравнения для каждой точки системы, а всего Зи уравнений, которые совместно с Л уравнениями связей позволяют определить Зп координат и h параметров X в функции времени. Механическая интерпретация параметров X будет такой же, как и в случае равновесия: реакция связи, наложенной на точку массы т, и выраженной уравнением - О, имеет проекции

dA dy-. •

1 dz.

Этот метод практически удобен лишь в том случае, когда число точек системы незначительно. В противном случае надо постараться привести решение задачи к интегрированию возможно меньшего числа уравнений, выражая, как мы это делали, Зл координат в функции к параметров д,, д,, .. ., д, и времени t.

Мы ограничимся сейчас несколькими непосредственными приложениями принципа Даламбера.

П. Теоремы, выводимые из принципа Даламбера

436. Частный случай теоремы проекций количеств движения.

Мы можем написать обшее уравнение динамики, вытекающее из принципа Даламбера в виде

г / dx, , dy, > , d-z, 5, \

= {XM. + Y,by,-JrZM, (12)

где в левой части суммирование распространяется на все точки системы, а в правой части только на те точки, к которым приложены заданные силы.

Делая некоторые частные предположения о характере наложенных связей, мы можем получить некоторые очень полезные результаты.

можно получить уравнения;



Допустим сначала, что связи позволяют системе совершать поступательное движение, параллельное оси Ох. Для такого перемещения имеем:

Sxj = 0x2 = . . . = 8х„, Ьу, = Ьг, = S/j = 32 = ... S y„ = S2„ = 0. и уравнение (12) примет вид

что выражает следующую теорему:

Если связи допускают в каждый .иомент времени перемещение всей системы параллельно неподвижной оси, то производная по времени от суммы проекций количеств движения на эту ось равна сумме проекций заданных сил на ту же ось.

Эта теорема является частным случаем теоремы проекций количеств движения. Производная по времени от суммы проекций количеств движения на какую-нибудь ось всегда равна сумме проекций внешних сил на ту же ось. Но в общем случае проекции внешних сил содержат одновременно проекции заданных сил и реакций связей. Рассматриваемая здесь теорема применима к такой категории задач, в которых проекции внешних сил на ось не содержат реакций связей.

Например, если рассматривается движение тяжелого стержня, концы которого скользят по двум неподвижным поверхностям S и S, то общая теорема применима к проекции движения на произвольную ось Ох. Но, проектируя внещние силы, необходимо брать также реакции обеих поверхностей S и S, и рассматриваемая сейчас теорема неприменима, если поверхности выбраны произвольно.

Она может быть применима лищь в том случае, когда обе поверхности S и S являются цилиндрами с образующими параллельными оси Ох, так как тогда связи будут допускать перемещение всего стержня параллельно этой оси. В этом случае проекции нормальных реакций на ось Ох равны нулю.

В общем случае можно видеть, что система допускает поступательное перемещение, параллельное оси Ох, если абсциссы х, входят в уравнения связей только в виде равностей.

437. Частный случай теоремы моментов. Допустим теперь, что связи допускают вращение всей системы вокруг оси г. Если обозначить через 89 это элементарное вращение, то, как известно, будет

Ьх, = - у,ЬЬ, 8 у, = х/89, §2, = 0. Тогда общее уравнение (12) примет вид





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 [85] 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0037