Главная Промышленная автоматика.

v = l

"Рчче» г=1, 2.....k.

Так как уравнение (3) должно удовлетворяться, каковы бы ни были возможные перемещения, допускаемые связями в момент t, то. оно должно удовлетворяться при любых вариациях Ьд,, Ьд, • • •, Ц-Следовательно, мы должны иметь

Q, - P, = 0, Q - P=o..... Q - P = 0. (5)

Таким образом, мы получили уравнения движения системы. Число этих уравнений в точности равно числу k степеней свободы системы. Именно таким образом в п. 288 мы последовательно получили уравнения движения свободной точки, точки, скользящей по заданной неподвижной или движущейся поверхности, и точки, скользящей по заданной неподвижной или движущейся кривой.

Мы вернемся к этим общим уравнениям в следующей главе.

Системы голономные и неголономные. С точки зрения аналитического выражения связей существующие системы делятся на две категории: на системы голономные, в которых все связи могут быть выражены уравнениями с конечными членами, и на системы неголономные, такие, как, например, обруч, велосипед, в которых некоторые из связей (условие качения колес по неподвижной поверхности) выражаются дифференциальными соотнощениями.

/Мы подробно изучили случай обруча {статика, пп. 171 и 172 и динамика, п. 411).

Уравнения, которые мы сейчас установили, справедливы во всех случаях.

434. Голономные системы; координаты голономной системы.

Согласно определению, данному немецким физиком Герцем (п. 172), система называется голономной, когда наложенные на нее связи могут быть выражены соотнощениями в конечной форме между координатами точек системы и временем. Пусть л;,, у,, z,, х. Уч., .. ., Хп, Уп, Zn - координаты точек системы. Чтобы система была голономной, необходимо и достаточно, чтобы все связи могли быть выражены системой независимых уравнений вида

f,{x„ у„ z„ Ха, у, 22.....х„, у, Zn,,t) = 0,

fiXi, у„ 2,, Хз, У;, 22.....Хп, у,,, Zn, 0 = 0,

fhii, у,, 2,, Х2, у.,, 22.....Х„, у„, Zn, 0=0.

где величины Qi и имеют вид:



Эти уравнения называются уравнениями связей голономной системы. Если ни одно из этих уравнений не содержит времени t, то связи называются не зависящими от времени. Если некоторые уравнения связей содержат t, то связи зависят от времени.

Мы получим пример связей, зависящих от времени, если представить себе, что некоторые из точек системы скользят по кривым или поверхностям, совершающим наперед заданные движения, т. е. по кривым или поверхностям, уравнения которых содержат время.

Число h уравнений связей должно быть обязательно меньше числа Зп координат. В самом деле, если h будет равно Зи, то движение системы будет предопределено уравнениями связей, так как эти уравнения определят 3« координат в функции времени. Можно, следовательно, положить

h = 3n - k.

где k - целое положительное число. Мы сейчас увидим, что система обладает в этом случае k степенями свободы.

Координаты системы. В каждый момент времени t, для того чтобы знать положение системы, достаточно знать численные значения k координат, выбранных подходящим образом из всех Зп координат системы. В самом деле, значения h = 3n - k остальных координат можно тогда определить из h уравнений связей (6).

Вообще, чтобы знать положение системы в какой-нибудь момент t, достаточно знать численные значения k параметров q,, q, qic, связанных с координатами системы k заданными соотнощениями:

fh+iixv Уи г,. Хг, Уг, .....х„, у„. 2„, 0 = 9i. )

fh+iiu Ук 2i, х, Уг, Z,----, х„, у, Zn, t) = q2, \ jy

fh+kiu Уи Zu Хг, Уг., z.....х„, у, 2„, 0 = ft- .

В самом деле, если t дано и если величинам q,, q, , qj дать некоторые численные значения, то уравнения (6) и (7) образуют систему h-\- кЗп уравнений, определяющих Зп координат:

Xi, Уу, Zy, Хг, Уг, 22.....х„, у, 2„.

Если решить эту систему, то для Зп координат получатся выражения вида

Х-=9ЛЯи Яг.....Чк, t),

У. = ЛЯи Яг, Як, О, [ (8)

Z. = u>v (Яи Яг.....Як, t),

где v=l, 2.....п. Из этих формул ясно видно, что в каждый

момент времени t численные значения параметров q,, q, .., qjc определяют положение системы. Параметры д,, q, . .., q могут быть названы координатами голономной системы.



8х, =

дх, dq,

§91 +

дх, dq.

, дх.

8Л =

ду.,

Ц\ +

Чг+

. дх.

dz.,

8<7i +

dz, dq.

, dz, dq

где v=l, 2, п. Так как bq,, bq,.....8 произвольны, то

система обладает k степенями свободы Фор1лулы (9) являются частным случаем формул (2), определяющих наиболее общее допускаемое связями возможное перемещение. Они 1вляются частными, так как в рассматриваемом случае правые части выражений 8х,,

8 у,, 82, суть полные дифференциалы функций от q,, q,.....q,i, что

в общем случае не имеет места.

Подставляя выражения 8х,, 8 у„ 82, в общее уравнение динамики (1) и приравнивая нулю коэффициенты при bq,, bq,, 8., мы получим, как это уже было показано в п. 433, k уравнений движения системы.

В следующей главе мы покажем, как эти уравнения можно привести к виду, более удобному для приложений.

435. Метод множителей Лагранжа для голономной системы. Пусть дана голономная система, подчиненная связям, выраженным равенствами (6) предыдущего пункта.

Чтобы определить возможное перемещение, допускаемое наложенными связями в момент t, необходимо дать времени t фиксированное численное значение и сообщить координатам такие вариации 8xi, by,,

bz,.....8х„, 8 у„, 82„, чтобы функции f,, /2. • • •, А от приращенных

координат были равны нулю, т. е. такие, чтобы нулю были равны

Примеры. Положение твердого тела, имеющего неподвижную точку, определено, если известны численные значения трех углов: Эйлера 9, ф, ср. Эти углы представляют собой координаты тела

Положение волчка на неподвижной горизонтальной плоскости (п. 407) определено, если известны горизонтальные координаты е, tj центра тяжести и три угла Эйлера 6, ф, ср, определяющие положение волчка относительно центра тяжести. Пять величин е, т), 9, ср, ф являются координатами волчка {k - 5).

Степени свободы системы. Чтобы получить«наиболее общее, совместимое со связями в момент времени t, перемещение системы, достаточно задать соответствующее численное значение t и заменить координаты q,, • • •. Як бесконечно малыми произвольными величинами

8,, §2.....Bft. Тогда из формул (8) можно найти соответствующие

вариации координат, т. е. допускаемые связями возможные перемещения:





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 [84] 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0039