Главная Промышленная автоматика.

сумма работ реакций связей будет сама по себе равна нулю (п. 162). Следовательно, сумма работ сил инерции и заданных сил равна нулю.

Обозначим через Sx,, Ьу., 82, составляющие возможного перемещения точки яг,, допускаемого связями, имеющими место

в момент t. Так как проекции

dx,,

- т„

силы инерции /,

точки равны

dfi-

- /и.

то имеем уравнение

которое будет иметь место для всех возможных перемещений, допускаемых связями, существующими в момент t. Это уравнение является общим уравнением динамики системы для связей без трения. Его можно написать в виде

ЬМ.. r= о,

где Л1.,- радиус-вектор, а 8Л1,- возможное перемещение точки Ж,,

обладающей массой т. Уравнение (1) отличается от общего уравнения статики(п. 170)

только имеющимися в нем силами инерции.

Мы начнем с двух прило-В жений этого метода к простым задачам.

432. Задача I. Даны две прямые АО и ВО (рис. 259), лежащие в вертикальной п.ю-скости и образующие с гори зонталью углы аи. По этим прямым скользят без трения тяжелые материальные точки т, m-i, т<, т, связанные между собой гибкой нерастяжимой и невесомой нитью, проходящей в точке О через бесконечно малый блок. Нужно найти движение системы.

Сила инерции точки т- есть вектор, направленный по О А. Этот вектор, если считать его положительным от О к Л, имеет значение


Рис. 259.

йРх dfi

где через х обозначено расстояние 0%. Так как при движении все точки совершают одинаковые перемещения, то силы инерции точек т, т, т будут векторами, величины которых соответственно равны

- то

d-x dfi



df •

Из них первый направлен по ОА, а два других по ВО. При этом положительным направлением по ВО принято направление от В к О и, следовательно, по обеим сторонам положительным будет направление BOA.

Нужно написать, что система находится в равновесии под действием этих сил инерции и весов m,g, mg, mg, mg точек m,, гпч, m.„ т. Единственным допускаемым возможным перемещением является "действительное перемещение, т. е. перемещение Ъх системы. Возможная работа сил инерции на это.м перемещении, очевидно, равна

сРх „ dx . dix , dX

И1 ox - &х -/Из&х - ox.

Что касается работы сил тяжести, то она будет равна

m,g Ьх sin а -\- mog Ьх sin а - mg Ьх sin р - mg Ьх sin р.

Написав, что сумма этих работ равна нулю, мы получим уравнение движения

(т, + /Из + /?гз -f /Я4) = {т, + т) sin а - {т + т) g sin р. dx

Отсюда видим, что -7-5- есть величина постоянная и, следовательно, дви-dt

жение будет равноускоренным, за исключением случая, когда величина

{т, + т) gsina - ( Zg + /И4) g sin p

равна нулю, что является условием равновесия. В этом случае движение будет равномерным. Когда одна из точек пройдет через о, то уравнение должно быть изменено.

Задача II. Движение однородной тяжелой цепочки по неподвижной кривой. Мы видели в статике (п. 169, пример 7), что условием равновесия цепочки является равенство нулю суммы касательных составляющих всех сил. Отсюда следует, что мы получим уравнение движения, если приравняем нулю сумму касательных составляющих сил инерции и сил тяжести.

Пусть Oz - направленная вверх вертикаль и г = ф (s) - соотношение между ординатой и дугой. Косинус угла между положительным направлением касательной и вертикалью равен ф (s). Сохраняя обозначения, которыми мы уже пользовались в этой задаче (п. 344), мы получим для касательной составляющей веса элемента 8х значение

(,mg)t = -?gV + Складывая эти составляющие, получим:

{mg)t = -fg Jф(a + X)8a = -p[ф(a + 0-ф(a-0]• -г

„ d-is

Так как касательная составляющая ускорения равна то касатель-

ная составляющая силы инерции того же самого элемента Ьк есть -п-

И.!!И



Сумма этих составляющих равна-- т или

-21?

dfi

Написав, что сумма всех составляющих (mg)t и равна нулю, мы вновь найдем составленное ранее уравнение

433. Приведение уравнений движения к наименьшему числу.

В каждой данной системе для получения наиболее общего возможного перемещения, допускаемого существующим в момент t связями, необходимо и достаточно сообщить k параметрами д, дг.....ди

произвольные вариации Ьд, Ьд, .. ., 3. Тогда говорят, как мы это уже делали в статике (п. 171), что рассматриваемая система обладает k степенями свободы. В таком случае мы можем получить уравнения движения, следуя по тому же пути, что и в статике (п. 171). Так как наиболее общее возможное перемещение системы в момент t определяется произвольными вариациями Ьд, Ьд.....Ьд, то вариации Ьх, Ьу, Sj, 0X2, Ьу, Зз, • • • координат различных точек системы являются определенными, если выбраны 01, Ьд, .... 8. Следовательно, для вариаций координат имеем выражения вида

4 + 12

82+ •

+aikk<

81 +*12

4- 3ft,

Sl + C,2

02+ •

• • + 8ft,

З?! + а,2

32+ •

• + "vft 3ft,

S?! 4- *v2

3,72+ .

• 4-*v* 3ft,

Sl + Cv2

4>+

• +Cvfc3ft,

в которых нужно полагать

v=l, 2, .... k. Если внести эти значения в общее уравнение (1) динамики:

S [( -. ) + ( - g) by, -Ь (Z, - т, g.) 8.,J = 0.

то получится уравнение вида

(Qi - Pi) 8?: + (q2 - р2) 82 + .. . + {Qk - Рч) 8ft = О, (3)





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 [83] 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0038