Главная Промышленная автоматика.

где f/ -функция от х, у, г. При этих условиях, если искать возможные положения точки, обращающие функцию U в максимум или минимум, можно найти положения относительного равновесия точки т как в случае, когда она свободна, так и в случае, когда она движется по кривой или по поверхности, неизменно связанной с осями Oxyz. Если в некотором положении функция и имеет максимум, то это будет положением устойчивого равновесия. Действительно, если, отклонив точку от ее положения равновесия и сообщив ей малую относительную .скорость, привести ее в движение, то нужно будет присоединить к другим силам кориолисову силу инерции. Но так как работа этой силы равна нулю, то будет иметь место интеграл энергии

К нему можно приложить все рассуждения, сделанные при исследовании устойчивости абсолютного равновесия (пп. 208, 245, 267), так как эти рассуждения основаны только на существовании интеграла энергии. Так, в примере п. 415 (относительное равновесие тяжелой точки на плоской кривой, вращающейся вокруг вертикали своей плоскости) существует силовая функция

и = - mgz -\- -i- m(o5p2.

Тогда при помощи этого метода можно убедиться, что для вращающегося

круга положение равновесия, определяемое равенством cos а = -т-, если

0>-/<

только оно существует, является устойчивым.

Те же замечания справедливы и для относительного равновесия системы.

где г обозначает расстояние от точки т стержня до диаметра Ох. Легко найти, что

2 тг- = Mai sin2 6 + Mki cos?- 6.

После подстановки получится уравнение движения. При помощи эллиптической функции можно выразить cos 9 р. функции t.

Если а2 = 2, то движение будет такое же, как движение маятника.

Положения относительного равновесия получатся, если приравнять

нулю (Лиценциатская).

9. Устойчивость относительного равновесия точки. Важно заметить, что если кориолисова сила инерции не входит в искомое уравнение относительного равновесия, то она появляется, как только точка начинает двигаться, и должна быть принята во внимание при исследовании устойчивости.

Но в одном часто встречающемся частном случае вопрос об устойчивости можно исследовать не вводя кориолисову силу в уравнение. Допустим, что приложенная к точке т заданная сила F и переносная сила инерции - mJg обе вместе имеют силовую функцию, так что

X-m{J,)



ГЛАВА XXIII ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА

I. Общее уравнение динамики

429. Формулировка принципа. Мы уже сформулировали принцип Даламбера для материальной точки (п. 288). Если рассматривать, с одной стороны, вектор, представляющий собой силы, приложенные к точке массы т, а с другой стороны, приложенный к точке вектор /, равный и противоположный произведению ускорения на массу, то уравнения движения можно интерпретировать следующим образом: в каждый момент времени существует равновесие между действующими силами и вектором /, называемым силой инерции. Проекции этого вектора / на оси координат равны

dx dSy dz

- "г-гпг. -т-~ , -от

dfi dfi dfi

где X, у. Z обозначают координаты точки т.

Пусть теперь дана система и движущихся точек с массами

nil, щ....."я- Можно сказать, что в каждый момент времени

существует равновесие между всеми силами, действующими на эти точки, и силами инерции /j, 1, /„ этих точек.

При помощи этого принципа можно свести составление уравнений какой-нибудь задачи динамики к составлению уравнений некоторой вспомогательной задачи статики.

Первое приложение. Теоремы, проекций количеств движения и моментов количеств движения (кинетических моментов). Мы видели (п. 94), что для того, чтобы произвольная система была в равновесии, необходимо, чтобы суммы проекций всех внешних сил на каждую из трех осей были равны нулю и чтобы суммы моментов тех же сил относительно каждой из этих осей тоже равнялись нулю. Отсюда на основании принципа Даламбера непосредственно вытекает, что при движении системы суммы проекций всех внешних сил и сил инерции на каждую из трех осей равны нулю



И ЧТО суммы моментов сил инерции и внешних сил относительно каждой из этих осей также равны нулю

Полученные таким образом шесть уравнений выражают теоремы проекций количеств движений и моментов количеств движения (пп. 326 и 328).

430. Случай системы со связями. Пусть дана система материальных точек, находящихся под действием заданных сил и подчиненных некоторым заданным связям, которые могут изменяться со временем по заданному закону. Каждая точка системы может быть рассмотрена как свободная, находящаяся под действием заданных сил и реакций связей. Согласно принципу Даламбера в каждый момент времени суиествует равновесие между заданными силами, реакциями связей и силами инерции. Иногда это утверждение формулируют следующим образом:

В каждый момент времени, в силу существующих в данный момент связей, имеется равновесие между заданными силами и силами инерции.

Пример. Движение твердого тела вокруг неподвижной оси. Вспомним, что для того, чтобы твердое тело, движущееся вокруг неподвижной оси Oz, было в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов сил относительно оси равнялась нулю. На основании этого для того, чтобы написать уравнение движения тела вокруг оси Oz, нужно написать, что заданные силы и силы инерции находятся в равновесии в силу имеющейся связи, т. е. что сумма моментов этих сил относительно оси Oz равна нулю

Это, как легко проверить, представляет собою уравнение, выведенное в п. 359.

431. Общее уравнение динамики для системы со связями без трения. Пусть дана система п точек с массами т,, .....

и координатами х,, у,, г,, Xj, У2, Z2 , подчиненная заданным связям, осуществляющимся без трения. Эти связи могут, однако, зависеть от времени. На точки действуют заданные силы, и мы обозначим через (X„Y„Z„) проекции равнодействующей заданных сил, приложенных в точке т„.

По принципу Даламбера в каждый момент времени имеет место равновесие между заданными силами F„, силами инерции и реакциями связей. Следовательно, если системе сообщить произвольное возможное перемещение, то сумма работ заданных сил, сил инерции и реакций связей будет равна нулю. Но если возможное перемещение будет допускаться связями, имеющими место в момент t, то





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 [82] 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0038