Главная Промышленная автоматика.

вращение Земли путем согласования результатов теории и опыта, то оба предположения одинаково приемлемы, так как уравнения, к которым они приводят, отличаются лишь членами, зависящими от квадрата угловой ско-юсти суточного вращения, а этими членами можно, конечно, пренебречь. Ло первое предположение представляет, по крайней мере, ту выгоду, что оно приводит к более простому рещению, потому что Бур получил его при помощи круговых функций, в то время как второе предположение приводит к эллиптическим функциям.

Предположение, что притяжение Земли постоянно, представляет еще и другую выгоду, не менее ценную для задач такого рода. Оно приводит к строгому рещению при помощи элементарных рассуждений всего лишь в несколько строк, которые мы заимствуем, так же как и предыдущие

замечания, из заметки Гюйу (Ouyou, Comptes rendus, 16 апреля 1888).

Рассмотри.м однородное тяжелое тело вращения, центр тяжести G которого закреплен неподвижно относительно Земли. Силами, действующими на тело, являются притяжение Земли и реакция Q точки подвеса G Размеры прибора настолько малы, что силы притяжения Землею отдельных частиц тела можно считать параллельными и пропорциональными их массам. Эти силы имеют равнодействующую А, приложенную в центре тяжести G. Последний не будет абсолютно неподвижным, так как центр тяжести участвует в движении Земли. Обозначим через J ускорение, каким обладает в каждый момент эта точка G. Исследуем движение тела относительно осей Gxyz е абсолютно неизменными направлениями и с началом в точке G. Мы можем рассматривать эти оси как неподвижные при условии присоединения к реально действующим на различные точки системы силам только переносных сил инерции. Эти последние, равные - mJ, параллельны между собой и пропорциональны массам. Они имеют равнодействующую Ф, приложенную в центре тяжести G. Движение тела относительно осей Gxyz будет совпадать с движением тела вращения, закрепленного в абсолютно неподвижной точке G своей оси и находящегося под действием сил, имеющих равнодействующую, проходящую через неподвижную точку. Но это движение было подробно изучено. Ось Go плоскости максимума площадей неизменна, т. е. направлена все время на одну и ту же звезду, а ось вращения ротора гироскопа описывает равномерным движением круговой конус вокруг этого направления. Наконец, движение относительно Земли есть результат наложения суточного вращения на это простое движение.

Если, например, начальные условия таковы, что ротор начинает вращаться вокруг своей оси вращения (главной оси инерции для точки G), то это вращательное движение будет продолжаться сколь угодно долго и ось будет сохранять абсолютно неподвижное направление в пространстве. Следовательно, в этом случае ось ротора будет оставаться направленной на одну и ту же звезду и для наблюдателя, находящегося на .Земле, она будет следовать за звездой в ее суточном движении. Этот способ рассуждений приводит к тем же результатам, что и анализ Бура (Journal de Liouville, 863).

Если вместо тела вращения рассматривать произвольное тело, закрепленное в своем центре тяжести, то движение тела относительно осей Gxyz


Рис. 258.



с неподвижными направлениями будет движением Пуансо и движение тела относительно Земли получится путем сочетания движения Пуансо и суточного вращения. Такой результат получил бы Бур, если бы он довел до конца анализ, который он для этого общего случая лишь указал (Ouyou, loc. cit.).

Прием, который применил Фуко, чтобы сделать центр тяжести ротора неподвижным, заключается в следующем. Берутся два кольца. Первое кольцо имеет неподвижную вертикальную ось СС (рис. 258), второе кольцо может вращаться вокруг оси ВВ, совпадающей с диаметром первого кольца, перпендикулярным к СС; наконец, сам тор может вращаться вокруг оси AGA, совпадающей с диаметром второго кольца, перпендикулярным к ВВ.

УПРАЖНЕНИЯ

1, Найти относительное движение тяжелой точки по горизонтальной плоскости, принимая во внимание вращение Земли.

Ответ. Взяв оси, как в п. 425, увидим, что точка останется в плоскости ху, причем г = 0. Единственной приложенной силой кроме притяжения будет нормальная реакция N плоскости. Тогда уравнения движения будут;

= -2.sinXlf. g- = 2.sinX. 0. A. 2..cos>4j.

Из последнего уравнения получаем реакцию, которая немного отличается от веса тела вследствие того, что имеется член с и. Два первых уравнения определяют движение в плоскости ху. Применяя теорему кинетической энергии, найдем, что относительная скорость v точки постоянна и равна v. Обозначая через а угол между скоростью и осью Ох, имеем = Vn cos а, =

at dt

= г/о sin а. После подстановки этих выражений в уравнения движения получим ~ =2а> sin А. Так как ~ = vq, где s - дуга траектории, то

ds щ ~ da ~ 2м sin X

Следовательно, радиус кривизны р постоянен и траектория будет дугой окружности очень большого радиуса.

2. Исследовать непосредственно при помощи теории относительного движения следующие задачи, рассмотренные в первом томе и решенные методом Лагранжа: п. 260; п. 261, задачи 22 и 23; п. 264, задача 2.

3. Найти относительное движение тяжелой точки, скользящей по прямой, равномерно вращающейся вокруг вертикальной оси Ог, с которой она не пересекается.

Пусть ОС - общий перпендикуляр к оси Ог и к прямой, СМ - г- расстояние от движущейся точки до точки Сип - угол между прямой и осью. Уравнение движения будет

--0,2 г sin а = -g cos ot.

Это - линейное уравнение с постоянными коэффициентами и с постоянной правой частью.

Точка движется так, как если бы прямая была неподвижна и точка отталкивалась от положения относительного равновесия пропорционально расстоянию.

4, Если на всем протяжении траектории тяжелой точки в пустоте на поверхности Земли рассматривать притяжение как постоянно.е по величине и направлению, то будет казаться, что точка описывает относительно Земли параболу, которая равномерно поворачивается вокруг некоторой оси. [Бур (формулы, данные Резалем в Nouvelles Annales, 1872, приводят в точности к этому результату).]



*) Gilbert, Memoire sur Iapplication de la methode de Lagrange a divers problems de mouvement relatif, стр. 276.

5. Найти движение тяжелой точки, падающей в пустоте, рассматривая Землю как однородный сжатый эллипсоид вращений. (De Sain t-Q е г ш а i n, Nouvelles Annales, 3" serie, т. И, 1883.)

6. Однородный тяжелый тор V вращается вокруг горизонтального экваториального диаметра SO?; этот диаметр соверщает равномерное вращение с угловой скоростью ш вокруг вертикали, проведенной из центра О. В точке М экваториального диаметра, перпендикулярного к 50?, помещен дополнительный груз т. Найти движение тора вокруг диаметра iOi *) (Кандидатский экзамен, 1874.)

Пусть OM = d, Л и С-моменты инерции тора относительно экваториального диаметра и относительно оси вращения. Движение будет определяться углом 6 между ОМ и направленной вниз вертикалью.

Уравнение движения будет

(А + md") 6" - <о2 (С - Л + md"-) sin 6 cos 9 = -mgd sin 6.

7. Дана поверхность 5, уравнение которой относительно трех взаимно-перпендикулярных осей Ох, Оу, Ог имеет вид

где е - основание натуральных логарифмов. Материальная точка М, масса которой принята за единицу, движется по поверхности 5 и находится под. действием заданных внешних сил. Поверхность 5 вращается с постоянной угловой скоростью м вокруг прямой ОА, имеющей относительно осей Охуг уравнения

X = у = г.

1°. Составить дифференциальные уравнения относительного движения точки М по подвижной поверхности S.

2°. Вычислить реакцию этой поверхности.

3°. Исследовать относительное движение, предположив, что точка М притягивается к точке О с силой F, пропорциональной расстоянию МО, и к плоскости Р, проведенной через точку О перпендикулярно к прямой ОА, с силой fj, пропорциональной расстоянию Mm от точки М до плоскости Р.

Силы £ и £ 1 на расстоянии, равном единице, имеют соответственно значения щЗ и 3o)2.

В начальный момент точка М имеет координаты х == у = О, г = 1. Кроме того, также в начальный момент

dx 2и dy 2(1)

(Кандидатский экзамен.)

8. Окружность радиуса R вращается с постоянной угловой скоростью ш вокруг одного из своих диаметров Ох, который предполагается вертикальным. Найти движение однородного тяжелого стержня АВ, концы которого скользят без трения по окружности.

Пусть С - середина стержня, ОС = а и 6-угол между ОС и направленный вниз вертикалью Ох, Mk" - момент инерции стержня относительно точки С. Применяем теорему кинетической энергии к относительному движению

М (ki -{- а2) = 2Mga cos 6 -f «2 mri -f h.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 [81] 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0036