Главная Промышленная автоматика.

то, пренебрегая величинами - и , получим г=1.

Тогда из третьего уравнения движения имеем N = g. Подставляя это значение и значение г = I ь два первых уравнения, приведем их к виду

Эти два уравнения определяют движение маятника, которое приближенно происходит в плоскости, касательной к сфере в ее самой низкой точке, как это вытекает из равенства г= I.

Уравнения (2) являются линейными с постоянными коэффициентами и их можно точно проинтегрировать при помощи квадратур. Мы применим, однако, другой метод. Из равенств (2) составим равенство, соответствующее теореме кинетической энергии

d=~-jxdx + ydy),

и проинтегрируем его, обозначив через гиб полярные координаты проекции маятника на плоскость ху. Имеем

(f)+(lf)-=-f"+«-

Составим теперь равенство, аналогичное теореме моментов, умножив уравнения (2) соответственно на -у и х и сложив их. Получим интегрируемое уравнение

которое, если положить ш sin X = ю, и перейти к полярным координатам, приводится к виду

г2- = шл2 1 с. (4)

Частный случай. Исследуем сначала частный случай: маятник в начальный момент находится в равновесии и ему сообщают небольшой толчок, после чего он начинает колебаться. Тогда в начальный момент г = О и уравнение (4) показывает, что постоянная С должна быть тоже равна нулю. Это уравнение принимает вид

= < e = eo-fco7.

X у

чаться в том, что мы будем рассматривать, с одной стороны, -у, у и их производные, а с другой, - (й как малые величины первого порядка и будем пренебрегать их квадратами и произведениями по сравнению с конечными величинами. При таком порядке приближения постоянно будет г - 1.Ъ самом деле, так как уравнение сферы, по которой движется точка, имеет вид



Следовательно, будет казаться, что маятник колеблется в плоскости, которая равномерно поворачивается вокруг вертикали Ог с угловой скоростью О) в положительном направлении. Эта плоскость сделает полный обо-

2я 24*" ,

----- (звезд-

рот за время

sinX


Рис. 257.

ное время). В Париже время полного оборота плоскости равно 324

Общий случай. Вернемся теперь к общему случаю малых колебаний. Уравнение (4) напищется так:

Если обозначить через (р угол О - м/, то получится уравнение

аналогичное уравнению площадей. Величины г и ср являются относительными полярными координатами горизонтальной проекции точки М по отношению к системе осей Охху, вращающихся вокруг вертикали Ог в положительном направлений с постоянной угловой скоростью о/, ибо если угол хОх принять равным юЧ, то угол хОМ будет равен 6 - (й7 или ср (рис. 257).

В новых переменных уравнение (3) принимает вид

Заменяя в последнем слагаемом левой части величину ~- значением

С и пренебрегая членом четвертого порядка <oV по сравнению с членом второго порядка, получим

dt J

r2-f h.

где ft -новая постоянная.

Уравнения (5) и (6) тождественно совпадают с уравнениями площадей и кинетической энергии в задаче о движении точки, притягиваемой неподвижным центром О пропорционально расстоянию. Следовательно, движение точки М относительно осей хОу тождественно с абсолютным движением точки М, притягиваемой неподвижной точкой О пропорционально расстоянию. На основании установленного в п. 223 точка М описывает относительно осей хОух эллипс с центром в точке О, причем период обращения точки

по эллипсу равен /

Так как оси хОух вращаются в горизонтальной плоскости, то мы видим, что точка М описывает маленький горизонтальный эллипс с центром в точке О, который вращается в отрицательном направлении вокруг своего

центра с угловой скоростью щ, совершая полный оборот за время Т = -г ,

равное для Парижа Ъ2\

Опыт Фуко (Foucault). В знаменитом опыте, произведенном в Пантеоне, маятник был отклонен от своего начального положения и привязан к стене при помощи нити. Таким образом, маятник был неподвижен по отношению



К Земле. После этого нить пережгли и маятник пришел в движение. При

этих условиях начальная скорость маятника относительно осей Охуг, свя-

„ „ dr db

занных с Землей, равна нулю и начальные значения и - тоже равны

нулю. Начальное значение г, которое мы обозначим через а, будет полуосью эллипса, так как это начальное значение будет максимумом или минимумом, поскольку начальное значение равно нулю. Соотношение (4),.

если положить в нем г -а к = 0, приводится к виду С= -ам. Начальное значение ~ отрицательно и равно - м. Следовательно, в опыте

Фуко маятник описывает эллипс в отрицательном направлении вращений вокруг оси Ог, в то время как сам эллипс вращается вокруг той же оси в положительном направлении. Таким образом, /явление будет совершенно отличным от того, которое имело бы место для сферического маятника, если пренебречь влиянием вращения Земли. В этом последнем случае, как показывают более точные подсчеты, конец маятника движется так, как будто он описывает маленький эллипс, который вращается в ту же сторону, в которую его описывает маятник.

Теорема Шевиллье (Chevilliet). В предыдущих уравнениях С обозначает постоянную площадей для движения точки, описывающей относительно-осей ХхОу маленький эллипс. Пусть а и 6 - полуоси этого эллипса, а -

период обращения точки по эллипсу. С имеет значение . С другой

стороны, мы нашлн, что С = - аи. Приравнивая эти два выражения, получим

а~ 2% ~ Т

где Т, как и выше, обозначает период обращения эллипса вокруг своего центра.

Таким образом, оси движущегося эллипса относятся между собой как период полного колебания к периоду обращения эллипса. При опыте

в Пантеоне было / = 67 л, а = 3 м. Г, = 16 сек, Г = 32 часа, - = JLt-

а 7200

Следовательно, эллипс был очень сильно вытянутым.

Для более глубокого изучения маятника Фуко мы отсылаем к работай де Спарра (Savants etrangers, 1891; Annales de la Societe Scientifique de Bruxelles, 14® annee, 1890-1891) и к работе Эмиля Коттона (Ё m i 1 е Cotton, Annales de la Faculte des Sciences de Grenoble, т. XXI, n° 1, 1909).

428. Гироскоп. Гироскоп Фуко представляет собой тяжелое тело вращения, центр тяжести которого закреплен неподвижно и которое может как угодно поворачиваться вокруг этого центра.

Изучение движения гироскопа Фуко явилось предметом многих научных работ, полный анализ которых дан в интересной заметке Жильбера «Историческое и ,критическое исследование задачи о вращении твердого тела» (Gilbert, Etude liistorique et critique du probleme de la rotation dun corps solide, Annales de la Societe scientifique de Bruxelles, 2® annee, 1878). Как замечает Жильбер, авторы этих работ исходят из двух различных точек зрения для трактовки задачи. Одни, среди которых Бур (В о и г. Journal de Liouville, 1863) и Лоттнер (Lottner), предполагают, что притяжение Земли постоянно во всем пространстве, занимаемом телом; другие, среди которых Кэ (Quet, там же, 1853), Резаль и позднее Жильбер, предполагают, что постоянным является кажущийся вес, т. е. равнодействующая притяжения Земли и центробежной силы. Если заботиться лишь о том, чтобы доказать





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 [80] 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0049