Главная Промышленная автоматика.

где во - значение 6 в момент < = 0. Остальные уравнения, написанные выше, определяют р и а в функции t. Когда насекомое достигает точки В, имеем yt = л, откуда находим искомое значение 6 - вд.

Определим значение k. Если через л обозначить линейную плотность (массу единицы длины) и через г расстояние от элемента dr до центра, то момент инерции прямой АВ относительно ее центра тяжести С равен величине

lridr=-=m

Момент инерции mk относительно оси Oz или относительно точки О равен (п. 317)

Следовательно,

т~ + тОО.

А;2 = /2-

Если в какой-нибудь момент времени насекомое остановится на прямой, то и вся система остановится, так как в противном случае сумма моментов количеств движения не будет равна нулю.

2°. Листок бумаги положен на совершенно гладкую горизонтальную плоскость, по которой он может скользить без трения. Одна точка О этого листка неподвижна, так что листок может только вращаться вокруг точки О, оставаясь на плоскости. Так, например, получится, если листок приколот в точке О булавкой к горизонтальной плоскости. На листке начерчена окружность радиуса а, проходящая через О (рис. 187, / и ).

Бумага была вначале в покое и на нее, в точке А, диаметрально противоположной точке О окружности было положено без начальной ско-



Рис. 187.

рости насекомое. В момент = О насекомое начало двигаться по окружности с постоянной относительно бумаги скоростью v. Найти движение системы (Routh (Раус), Rigid dynamics).

Выберем в плоскости в качестве неподвижных осей ось Ох, совпадающую с начальным положением диаметра О А (положение /), и ось Оу, к ней перпендикулярную. Внешние силы, приложенные к системе (бумага и насекомое), суть силы веса, нормальные реакции плоскости и реакция иглы на бумагу в точке О. Моменты всех этих сил относительно оси Oz, перпендикулярной к плоскости хОу в точке О, равны нулю. Следовательно, сумма моментов количеств движения относительно оси Oz постоянна. Теорема



. arctg

/1+ Lti-hi-J

причем постоянную присоединять не нужно, так как при = О должно быть в = 0. Таким образом, в выражено в функции t. Обращаясь к уравнениям (3) и (2), найдем г и а тоже в функции t. Таким образом, движение найдено.

Найдем время Т, необходимое насекомому для достижения точки О, и соответствующие значения углов 6 и а. На основании равенств (2) и (4) имеем:

2 • 2 Vl+i>. 2 2\ lAl+(x,

Если насекомое будет продолжать перемещаться по окружности, 10 бумага будет продолжать поворачиваться в противоположном направлении.

площадей применима к движению системы в плоскости хОу, и так как система была вначале в покое, то постоянная площадей равна нулю. Таким образом:

Если насекомое вращается в каком-нибудь направлении вокруг точки О, то бумага должна поворачиваться в противоположном направлении. Подсчитаем сумму моментов количеств движения. Пусть в момент t (рис. 187, ) насекомое находится в точке М. Обозначим через г и в его полярные координаты, причем в предполагается положительным. В тот же момент времени диаметр, выходящий из точки О, занимает положение OA, образующее с Ох отрицательный угол, который мы обозначим через -а, так что о обозначает абсолютное значение угла хОА. Момент количества

движения насекомого равен >ir-, а сумма моментов количеств движения

различных точек бумаги равна -/4т. где У-момент инерции бумаги

относительно Ог и--- угловая скорость бумаги.

Имеем уравнение

Надо выразить, что дуга АМ окружности, которую пробежало насекомое, равна vt. Таким путем, так как 4-а, получаем:

2«(в-Ьа) = г</, Ь+а = и, (2)

где положено для краткости = С другой стороны, из треугольника АОМ имеем:

г = 2я cos (6 -f а) = 2а cos \t. (3)

Заменяя в равенстве (1) г этим значением и а. через W -9, получим:

X dt 4та

l+cos2- f=-•

Написав это в виде

dtglt l+i.+t-Xt и выполнив интегрирование, получим:

tglt




Рис. 188.

3°. В предыдущем примере точка О бумаги закреплена неподвижно. Но можно осуществить вращательное движение указанного рода, не закрепляя никакой точки, следующим образом. Предположим, что лист бумаги, имеющий центр тяжести в точке О, может скользить без трения по горизонтальной плоскости, и начертим на этом листке две одинаковые окружности, касающиеся в точке О (рис. 188). Вообразим теперь двух насекомых

одинаковой массы находящихся вначале в покое в точках А и А,, диаметрально противоположных относительно точки О и начинающих затем перемещаться по обеим окружностям с одинаковой скоростью v и в одинаковом направлении вращения таким образом, что в произвольный момент времени они занимают симметричные относительно О положения М v. М,.

Согласно теореме движения центра тяжести точка О, являющаяся центром тяжести всей системы, остается неподвижной, так как все начальные скорости равны нулю. Тогда листок бумаги будет вращаться вокруг неподвижной точки О в сторону, противоположную вращательному движению обоих насекомых, и уравнения движения будут идентичными с предыдущими, если предположить, как мы это сделали, что каждое из насекомых имеет половину массы насекомого из предыдущего примера.

Аналогичным образом наблюдатель, стоящий на идеально отполированной горизонтальной плоскости, может заставить себя вращаться. Для этого ему достаточно поднять оба кулака, расположив их симметрично относительно вертикали Ог, проходящей через центр тяжести и затем описывать ими две окружности в одно.м и том же направлении, сохраняя все время симметрию относительно оси Ог. Тогда корпус будет поворачиваться в противоположном направлении и по истечении некоторого промежутка времени может совершить полный оборот.

4°. Вообразим наблюдателя, стоящего неподвижно на идеально гладкой горизонтальной плоскости, с надетым на него поясом в виде желоба, в котором лежат два тяжелых шара, вначале неподвижных. Если наблюдатель при помощи рук заставит шары перекатываться по желобу таким образом, чтобы они вращались вокруг его корпуса в каком-нибудь определенном направлении, то центр тяжести системы останется на неподвижной вертикали, а корпус будет вращаться вокруг этой вертикали в противоположном направлении.

Задачи того вида, какой мы сейчас изложили, рассмотрены в различных заметках Гюйу (Ouyou), Мориса Леви (Maurice Levy), Марселя Депре (Marcel Deprez), Пикара (Picard), Аппеля, Лекорню (L е с о г п и, Comptes rendus, 2-е semestre 1894 и Bulletin de la Societe mathematique, novembre 1894) и в заметке Сен-Жермена. (Sain t-0 e г га a i n, Nouvelles Annales de Mathematique, 1895), в которой подробно изложен четвертый из рассмотренных примеров.

334. Движение относительно системы осей, совершающих прямолинейное и равномерное переносное движение. Пусть Охуг - система подвижных осей, параллельных неподвижным осям. Подвижное начало О имеет координаты а, Ь, с. Обозначим через х, у, г





0 1 2 3 4 5 6 7 [8] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0036