Главная Промышленная автоматика.

угол между той же осью и касательной BR к 7". Тогда для координат точки В(х, у) имеем:

л: = X -f- & cos а, у = у -\-b sin а.

Обозначим через s н s дуги обеих кривых 7 и 7" и продифференци-

руем эти равенства, прини-.. мая во внимание известные

\ --- т\ Jl соотношения:

dx - ds cos а, dy = ds sin a и

dx = ds cos (a + 6), ...

Получим

ds cos (a -f 6) =

= ds cos a - & sin a da, ds sin (a + 6) =

= ds sin a -f- ft cos a da.


Рис. 252.

Раскрывая cosinus и sinus суммы двух углов по формулам тригонометрии и разрешая эти уравнения относительно

ds cos в и ds sin в,

получим для этих величин значения ds к b da. Следовательно, радиусы кри-

, , ds ds

визны р и р обоих следов, имеющих значения " > определяются формулами р cos в = р, р sin е = ft

и являются постоянными. На рисунке видно, что в треугольнике А(лВ:

р = А(л, р = But.

Следовательно, следы являются окружностями с общим центром и при движении прямая АВ (рис. 253) поворачивается вокруг вертикали шо) с угловой скоростью, которая постоянна, если постоянна скорость велосипеда. Выберем теперь систему трех перпендикулярных осей, связанных с АВ, следующим образом: начало С является проекцией центра тяжести на АВ, ось Сг есть прямая АВ, ось Су - вертикаль, проходящая через точку С, ось Сх - перпендикуляр к плоскости уСг. Следовательно, плоскость хСу перпендикулярна к средней плоскости, которую она пересекает по прямой СМ, обра-ззющей с вертикалью угол р.

Для того чтобы велосипед не опрокидывался н чтобы угол р оставался постоянным, необходимо и достаточно, чтобы по отношению к системе


Рис. 253.



осей Схуг имело место относительное равновесие. Но движение этих осей является вращением с постоянной угловой скоростью ш вокруг вертикали охв. Будем считать равной нулю массу колес, которая весьма мала по сравнению со всей массой. Пренебрежем также движением ног, которые мы будем полагать неподвижными в некотором среднем положении. Чтобы выразить, что имеет место относительное равновесие, нужно написать, что существует равновесие между реакциями грунта, силами тяжести и центробежными силами.

Силы тяжести имеют равнодействующую, равную весу GP = Mg (рис. 254).

Центробежные силы имеют приближенно равнодействующую GF, приложенную в точке О, направленную по перпендикуляру GG к оси вращения ии -> MV

и равную Ми>ЮО, или - ,где V обозначает скорость точки G, nR - ра-

диус GG окружности описываемой" этой точкой. Бурле обосновывает это приближение, исходя из замечания, сделанного в п. 421: ось GC из соображений симметрии является приближенно главной осью инерции для центра тяжести; угол р, который образует вертикаль, проходящая через точку G, с осью GC, обычно мал, и эта вертикаль почти совпадает с главной осью инерции. Следовательно, можно считать, что линия, проведенная из точки О параллельно оси вращения юю, является приближенно главной осью инерции для точки G, что позволяет применить замечание, сделанное в п. 421.

После этого для исключения реакций грунта напишем,

что сумма моментов сил f и Р относительно оси АВ равна нулю. Для этого, согласно самому определению моментов, достаточно спроектировать силы Р и F на плоскость хСу, перпендикулярную к АВ, и взять моменты этих проекций относительно точки С. Проекция силы тяжести Р равна величине всей силы; проекцией силы /является горизонтальная сила F,, равная f cos ф, где через ф обозначен угол FGFi, который образует прямая FGG со своей проекцией FGG" на плоскость уСх. Тогда условие равновесия будет

Pcos 4- cos р = Pslnp.

Проекция на горизонтальную плоскость треугольника GGG" равна такому же треугольнику Do)£; Do) равно R к а>Е равно АС, т. е. известной постоянной

длине с. Тогда для sin ф получаем значение и уравнение равновесия,

если в нем заменить f и Р их значениями -щ- и Mg, примет вид


Рис. 254.



Если допустить, что радиус R настолько велик, что указанные приближения допустимы, то полученное таким образом относительное равновесие будет неустойчивым. Действительно, если велосипед наклонится к земле, то угол р увеличится, момент веса увеличится, момент силы F уменьшится, первый момент будет больше второго и угол р будет увеличиваться еще больше. Чтобы не упасть, велосипедист должен будет повернуть направляющее колесо в сторону, в которую он падает, для того, чтобы увеличить угол е. Тогда точка m переместится, Аю, Вю и R уменьшатся, центробежная

сила F= увеличится и преодолеет силы тяжести. Если р уменьшается,

то происходит обратное явление.

Найденное условие относительного равновесия будет достаточным, если трение скольжения по грунту в поперечном направлении неограниченно. Но пусть коэффициент трения имеет определенное значение /. В относительном равновесии равнодействующая сил Р п Fx пересекает ось АВ, образуя с вертикалью угол р. Для того чтобы не было скольжения, необходимо, чтобы

tgp</. VKfgR.

Это неравенство показывает, что при заданной скорости нельзя описать

окружность радиусом меньшим, чем При скользком грунте, для того,

чтобы описать окружность заданного радиуса R, нужно достаточно замедлить движение, чтобы удовлетворялось предыдущее неравенство (В о и г 1 е t, loc. cit., стр. 26-27).

Для ознакомления с теорией велосипеда можно рекомендовать также премированную работу Бурле (Bulletin de la Societe mathematique, 1899), работу Карвалло (Carvallo, Journal de IEcole Poiytechnique, V* et VP. Cahiers, 1900), работу Буссинеска (Boussinesq, Journal de Mathematiques de Jordan, 1899) и статью Рауса (Messenger of Mathematics, 1898-1899).

III. Относительное равновесие и относительное движение на поверхности Земли

423. Историческая справка. Ньютон, по-видимому, является первым, обратившим внимание на влияние вращения Земли на движение тел на ее поверхности. Он заметил, что тело, сброшенное с высокой башни, должно при падении сохранять нормальную к меридиану скорость, равную скорости вершины башни во вращательном движении Земли. Но так как эта скорость несколько больше скорости основания башни, то тело должно упасть немного впереди башни, в сторону вращения Земли, т. е. отклониться к востоку. Многие наблюдатели старались обнаружить на опыте это обстоятельство, но только в 1831 г. Рейх произвел достаточно убедительные опыты в рудниках Фрейберга. Однако и в этих опытах все еще остаются некоторые сомнительные места, и было бы желательно, чтобы такие опыты были предприняты вновь. Гораздо отчетливее удалось доказать суточное движение Земли физику Фуко. Последний понял, что вращение Земли должно отразиться на вращении плоскости колебания математического маятника вокруг вертикали места, в сторону суточного движения, и подтвердил свое предположение знаменитым опытом в Пантеоне.

в общем случае R можно считать настолько большим по сравнению с размерами машины, что величиной можно пренебречь. Тогда





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 [77] 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0037