Главная Промышленная автоматика.

Если величина

2 = -. (s,na--<oUos2.). (4)

п = sin а 4- cos 2а

положительна, то положение равновесия, соответствующее 8 = а, устойчиво и период бесконечно малых колебаний вокруг этого положения равен .

Если эта величина отрицательна, то равновесие неустойчиво. Можно проверить, что если существует только вертикальное положение равновесия

= , то оно устойчиво. Если существует кроме него также наклонное

положение равновесия, то устойчивым будет последнее, а вертикальное будет неустойчиво.

Промежуточный случай, когда = 1, заслуживает особого внимания. Тогда оба положения равновесия совпадают с вертикальным. Если по-прежнему положить 8 = Y -J- ср, где ср бесконечно мало, то ср исчезнет и, рассматривая только первый член, получим

-Г = - срЗ.

dt-i 2

Следовательно, равновесие будет устойчивым, так как ср стремится уменьшаться по абсолютному значению. Угол ср определяется тогда в функции t при помощи эллиптической функции.

Если стержень предоставлен самому себе без начальной скорости в положении, соответствующем "р = ср (сро бесконечно мало), то легко убедиться, что время, необходимое для возвращения стержня в вертикальное положение, обратно пропорционально амплитуде сро.

421, Твердое тело. Частный случай, когда переносные силы инерции имеют равнодействующую. Когда движущаяся система является твердым телом, то переносные силы инерции приводятся в общем случае к силе и паре. То же справедливо и для кориолисовых сил инерции. Резаль (Annales des Mines, 1853) и Жильбер (Annales de la Societe scientiSiques de Bruxelles, 1878)

При анализе решения нужно иметь в виду, что sin 9 может принимать только такие значения, при которых правая часть положительна.

Относительное равновесие. Разделив уравнение (1) на dt и выполнив дифференцирование, получим

= ff cos 9-cousin е cos 8. (3)

dt 4/

Для нахождения положения относительного равновесия нужно правую часть приравнять нулю. Тогда получается cos 8 = 0, что дает вертикальное положение, и далее

4/(«2 sin е = Zg,

откуда получаем некоторое значение для 8, если ш достаточно велико. Чтобы рассмотреть вопрос об устойчивости, обозначим через а значение 8, соответствующее одному из этих двух положений, и положим 8 = а -j- ср, где ср очень мало. Тогда, подставляя это значение 8 в равенство (3) и разлагая правую часть по степеням ср, мы получим, пренебрегая высшими степенями,



указали различные теоремы для приведения этих сил. Вот один из случаев, когда переносные силы инерции приводятся к одной равнодействующей.

Допустим, что движение осей Охуг, по отношению к которым надо исследовать относительное движение твердого тела, является вращением с постоянной угловой скоростью ш вокруг неподвижной оси АВ. Допустим, кроме того, что ось Ог, проведенная через центр тяжести G параллельно оси вращения, является главной осью инерции для точки G. Тогда переносные силы инерции приведутся к одной равнодействующей, равной центробежной силе, которой обладала бы вся масса, если бы она была сосредоточена в центре тяжести G.

В самом деле, примем за оси прямую Gz и два перпендикуляра к ней Gx и Gy (рис. 250). Пусть х = а, у = Ь являются уравнениями оси АВ.

Для центробежной силы Ф, приложенной в точке т, имеем


Рис. 250.

Ф = mm! /ир,

где тир - расстояние от точки до оси АВ. Ее проекции суть

mafl (х - а),

mufi (у - Ь), 0.

Следовательно, проекции главного вектора всех этих .сил равны

тчА{х - а), тч>-{у- Ь), О

-ЛГюа, -Mafib, О,

так как "тх и ту равны нулю. Проекциями главного момента всех этих сил будут:

- 2 (у - *). т<л>г (х - а), т<л{ау - Ьх).

Все они равны нулю, так как ось Gz является главной осью инерции п точке G. Следовательно, центробежные силы имеют равнодействующую, приложенную в точке G, проекции которой равны

-Л1о)Ч -Ми>4, 0.

Сама сила равна Мо>ЮО и направлена по GG, где через О обозначена проекция точки G на ось АВ.

422. Велосипед. Мы заимствуем из интересного сочинения Бурле (В о U г 1 е t, Traite des bicycles et bicyclettes, Oauthier-Villars) следующее приложение теории относительного равновесия. Главной деталью велосипеда, к которой крепятся все остальные, является рама, выполненная обычно в форме жесткого пятиугольника RQEIS (рис. 251). Позади рамы в точке/? закреплена ось колеса F. Впереди рама снабжена втулкой EI, через которую проходит руль. Руль снабжен внизу вилкой ЕВ, через которую проходит ведущее колесо D. Его ось скреплена с вилкой в точке В. Руль сверху представляет собой почти горизонтальную трубку G, оканчивающуюся двумя ручками, которые велосипедист держит в руках. Велосипедист сидит в седле S, закрепленном в верхней части середины рамы. Рама машины представляет собой плоскость симметрии, содержащую втулку EI,




Рис. 251.

центр седла S и центр R колеса F. Эта плоскость называется средней плоскостью. Назовем плоскостью колеса плоскость, перпендикулярную к оси этого колеса в ее середине. Плоскость заднего колеса всегда совпадает со средней плоскостью, а плоскость направляющего колеса меняет свое положение относительно средней плоскости, и когда она с ней совпадает, обе ручки руля находятся на одинаковых расстояниях от средней плоскости, которая является тогда плоскостью симметрии велосипеда, поскольку массами цепи и педалей можно в первом приближении пренебречь.

Обозначим через А к В точки касания обоих колес с грунтом. Мы будем предполагать, что ось лгу рулевой трубки проходит через точку касания В направляющего колеса. Тогда точка В будет фиксированной точкой средней плоскости и прямая АВ будет иметь постоянную длину, не зависящую от положения направляющего колеса. Эта прямая АВ касается заднего колеса и является пересечением средней плоскости с грунтом, который предполагается плоским. Мы будем также предполагать, что велосипедист не производит своим телом никаких движений и сидит так, что плоскость симметрии его тела совпадает со средней плоскостью. При таких условиях центр тяжести G велосипедиста и велосипеда (рис. 251а) почти точно является некоторой фиксированной точкой средней плоскости. Следовательно, основание С перпендикуляра, опущенного из центра тяжести на прямую АВ, является фиксирован ной точкой этой прямой.

Найдем сначала, каковы будут следы колес на грунте, если предположить, что направляющее колесо образует со средней плоскостью постоянный угол. Будем считать грунт плос101м и примем его за плоскость чертежа. Пусть А и В - точки касания заднего и направляющего колес, а AR и BR - прямые пересечения плоскостей обоих колес с грунтом; при этом AR совпадает по направлению с АВ (рис. 252).

Угол 9 между BR и АВ постоянный, если постоянным остается наклон средней плоскости к вертикали. Прямые AR и BR очень мало отличаются от касательных к следам Т к Т колес на грунте. Легко тогда видеть, что эти следы будут двумя окружностями, имеющими общий центр в точке » пересечения нормалей к обоим следам в точках А п В. В самом деле, обозначим через X, у координаты точки А, через b - длину АВ, через а - угол касательной АВ кТ с неподвижной осью Ох и, следовательно, через а -)- 9 -


Рис. 251а.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 [76] 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0036