Главная Промышленная автоматика.

приложение. Найти положение относительного равновесия тяжелой точки, которая может скользить без трения по плоской кривой С, вращающейся с постоянной угловой скоростью ш вокруг вертикальной оси Oz, находящейся в плоскости этой кривой (рис. 245).

Для г будем считать положительным направление снизу вверх.

Силами, действительно действующими на рассматриваемую точку т, являются ее вес mg и нормальная реакция N. Чтобы получить условия


относительного равновесия, мы можем рассматривать кривую С как неподвижную и написать, что имеет место равновесие между этими двумя силами и переносной силой инерции Ф.

Для вычисления этой последней рассмотрим геометрическую точку, принадлежащую подвижной системе отсчета, т. е. кривей С, совпадающую с точкой т. В переносном движении эта точка описывает параллель радиуса р = Рт, и поэтому ее ускорение равно «Зр и направлено от т к Р. Следовательно, сила Ф, которая является в данном случае центробежной силой, имеет значение отюр и направлена по продолжению Рт. Для того чтобы имело место равновесие, необходимо и достаточно, чтобы силы Ф



и mg имели равнодействующую R, нормальную к кривой. Из подобных треугольников mPQ и m<bR имеем:

Следовательно, положениями равновесия являются те точки кривой, в которых поднормаль PQ равна , причем точка Q пересечения нормали

с осью Z должна быть расположена над точкой Р. Если в точке А, где р = О, касательная горизонтальна, то эта точка будет положением равновесия при любой скорости вращения.

Допустим, например, что заданная кривая является параболой с вертикальной осью, вращающейся вокруг этой оси. Тогда верщина будет единственным положением равновесия, кроме как в случае, когда параметр параболы равен В последнем случае все точки параболы удовлетворяют

условиям задачи. Отсюда следует, что свободная поверхность жидкости, совершающей равномерное вращательное движение вокруг вертикальной оси, является параболоидом вращения, так как каждую частицу жидкости, лежащую на поверхности, можно уподобить тяжелой материальной точке, которая может скользить без трения по меридиану.

Если заданная кривая является окружностью радиуса R (рис. 245, ), центр которой Q лежит на оси вращения, то условия равновесия принимают вид

QP = /?cosa = --, cosa = -.

Следовательно, для того, чтобы существовало положение равновесия, отличное от А, необходимо, чтобы ш было больше чем Когда (о уве-

личивается, а постоянно возрастает и стремится к у. Эти результаты служат основой теории регулятора Уатта (Watt) для паровых машин.

Если заданная кривая является окружностью радиуса R, центр С которой не находится на оси вращения, то могут быть два или четыре положения равновесия. Предлагая аналитическое решение в качестве упражнения, ограничимся следующим замечанием (рис. 245, Я/). Пусть от -положение

равновесия, QP - соответствующая поднормаль, равная О - проекция

центра С на ось вращения Oz. Проведем прямую ОЕ, равную и параллельную Qot, и возьмем OD = QC, DE=Cm - R. Ось проведенная через Е перпендикулярно к Oz, займет известное положение, так как OF -

= QP = -C. Ось CDH займет также известное положение, так как она

параллельна оси Oz. Кроме того, DE = R. Прямая DE, равная R, будет проходить через заданную точку О. Ее концы Е п D опираются на две заданные перпендикулярные оси СН и FE, и нахождение положения равновесия приводится к задаче геометрии: через точку О провести прямую, на которой две фиксированные оси СН и FE отсекают .отрезок длины R. Тогда радиус Сот будет параллелен этой прямой. Известно, что эта геометрическая задача имеет два или четыре решения в зависимости от того, будет ли точка О находиться вне или внутри эпициклоиды, являющейся огибающей отрезков длины R, концы которой скользят по двум осям СН и FE. Этот результат был получен Жильбером из уравнений равновесия. (Gilbert, Application des equations de Lagrange au mouvement relatif, Annales de la Societe scien-tifique de Bruxelles, 1883.)




ное движение подвижных осей является прямолинейным и равномерным, то переносная сила инерции также равна нулю, так как j - 0.

Пример. Движение планеты вокруг Солнца. г,,„

Пусть S (рис. 246) и *"<-

Р-Солнце и планета, М

и т - их массы, г - расстояние между ними. Сила притягкения обоих тел F = Найдем движение планеты по отношению к осям Sxyz

постоянного направления, проведенным через 5. Так как эти оси движутся поступательно, то переносное ускорение планеты Я равно в каждый момент времени ускорению подвижного начала S. Следовательно, величина ускорения Уе равна = и его направление является продолжением SP. Центробежная сила Ф, которую нужно присоединить к силе притяжения F

П1имечание. Если надо найти движение точки пв воащаюцэйся кривой С (рис. 245, /), то достаточно применить теорему кинетической анер гии к относительному движению, замечая, что элементарная работа веса равна - mg dz, элементарная работа центробежной силы Ф равна тшр dp, а работа кориолисовой силы инерции равна нулю. Интеграл энергии получим тогда в виде

mvl = -1mgz-\-mu?p-\-h.

Чтобы получить положение относительного равновесия, надо найти такие положения движущейся точки, для которых стоящая в правой части силовая функция имеет максимум или минимум. Максимуму этой функции отвечает положение устойчивого равновесия. Таким образом, можно проверить, что в случае окружности, вращающейся вокруг оси, проходящей через ее центр, положение равновесия в точке А будет устойчиво (рис. 245, ), если существует только такое положение. Но это же положение будет неустойчиво, если точка может занимать другое положение равновесия т. Тогда устойчивым будет это последнее положение.

416. Относительное движение по отношению к осям, совершающим поступательное движение. Когда система подвижных осей Охуг совершает поступательное движение, тогда мгновенная угловая скорость а) этой системы равна нулю, кориолисова сила инерции также равна нулю, и для того, чтобы написать уравнения относительного движения, достаточно добавить к действующим на точку силам только переносную силу инерции. Для определения этой последней заметим, что все точки подвижной системы отсчета имеют одинаковые ускорения. Следовательно, переносное ускорение равно ускорению j начала координат, каково бы ни было положение движущейся точки. Если постуоатель-





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 [74] 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0039