Главная Промышленная автоматика.

ГЛАВА XXII ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

L Общие теоремы

413. Уравнения относительного движения точки. Уравнения Лагранжа позволяют, как мы видели, найти относительное движение точки по отношению к системе, совершающей известное нам движение (пп. 259, 263, 282). Мы увидим дальше, что те же уравнения применимы и к относительному движению голономных систем. Следовательно, нет необходимости в построении специальной теории относительного движения. Тем не менее ввиду важности вопроса мы изучим его непосредственно.

Задача заключается в следующем: пусть даны неизменяемая система S, совершающая известное движение, и материальная точка т, находящаяся под действием некоторых сил. Нужно найти относительное движение этой точки по отношению к системе S, которая называется подвижной системой отсчета. Для определения движения системы S отсчета достаточно, как мы видели в кинематике (п. 45), определить движение трех осей Ох, Оу, Ог, неизменно связанных с этой системой. Точка т обладает в каждый момент времени абсолютной скоростью Va, относительной скоростью Vy по отношению к системе S отсчета и переносной скоростью V. Между этими тремя скоростями имеет место векторное соотношение

Va=-V,+ V,.

Для ускорения мы имеем аналогичную формулу с добавочным членом.

Пусть ./о-абсолютное ускорение, j\ - относительное ускорение, jg - переносное ускорение и / - некоторый вектор, называемый добабочным ускорением. Имеем векторное равенство

Ja = Jr+Je+r- (1)

Напомнив эти результаты, обратимся к интересующей нас задаче. Равнодействующая F сил, действующих на точку т, равна абсолютному ускорению У„, умноженному на массу точки т. Следовательно,



сРх ... .,

Проекции ускорений и / известны, так как известно движение системы S отсчета или, что то же, переносное движение.

Интегрированием дифференциальных уравнений (4) мы получим X, у, г в функции t, т. е. уравнения относительного движения в конечной форме.

Векторам -mjg и -mj, проекции которых содержатся в уравнениях (4), дают следующие специальные наименования: вектор - mJg, равный и противоположный произведению массы на переносное ускорение, называют переносной силой инерции, а в случае, когда движение системы 5 является равномерным вращением вокруг неподвижной оси - центробежной силой; вектор -mf, равный и противоположный произведению массы на добавочное ускорение, называют кориолисовой силой инерции.

Мы приходим к следующему выводу: Относительное движение точки по отношению к движущимся реям Охуг будет таким же, как если бы эти оси были неподвижны, а к силам, которые действуют на движущуюся точку, была присоединены две фиктивные силы, из которых одна является переНоЬной силой инерции, а другая - кориолисовой силой инерции.

Геометрическое определение кориолисовой силы инерции -mf непосредственно вытекает из определения вектора f. Проекции

- Jx -"-2/ -"К "" основании данных в п. 59

на основании равенства (1) имеем новое векторное равенство:

F=mJr-\-mjg-\-mJ. (2)

откуда

mJr = F - mjg - rnj. (3)

Это векторное равенство переходит в три алгебраических уравнения, получающихся при проектировании рассматриваемых векторов на подвижные оси. Таким путем получаются так называемые уравнения относительного движения. Проекции на подвижные

оси Охуг равны Мы обозначим через X, Y, Z про-

екции силы F, через (Je)x< Ue)y (Л)г - проекции переносного ускорения и через у, J, j - проекции добавочного ускорения. Тогда имеем три уравнения:



где р, д, г - проекции на оси Oxyz мгновенной угловой скорости а) подвижной системы отсчета.

414. Кинетическая энергия в относительном движении. С уравнениями (4) можно, очевидно, проделать все аналитические преобразования, которые делались при изучении абсолютного движения.

Например, умножая уравнения (4) соответственно на dx, dy, dz и складывая их, можно получить результат, аналогичный тому, который приводит к теореме кинетической энергии. В этом результате члены, происходящие от кориолисовой силы инерции, исчезают, как это вытекает из выражений (5), и получается уравнение

dmVl

-J- = Xdx + Ydy-JrZdz--m (J) dx - m U,\ dy - m (J,), dz.

Следовательно, дифференциал кинетической энергии точки в относительном движении равен элементарной работе силы, действительно приложенной к точке, и переносной силы инерции. То, что работа кориолисовой силы инерции равна нулю, вытекает геометрически из того обстоятельства, что эта сила, будучи нормальной к относительной скорости V, нормальна также к относительному перемещению dx, dy, dz.

415. Относительное равновесие. Чтобы получить уравнения относительного равновесия, нужно в предыдущих уравнениях поло-

dx d-у d-2 dx dy dz

Hfi dB dfi H dl It равными нулю. Как следствие, j будет также равно нулю, и мы получим:

X- т Ue)a> = 0, Y-m Ue\ = 0. Z - m Ue)z 0.

Следовательно, для составления уравнений относительного равновесия нужно написать, что сила F уравновещивается центробежной силой.

Точка, координаты которой х, у, z удовлетворяют этим трем уравнениям, будет определять положение относительного равновесия, так как если в это положение привести движущуюся точку, не сообщив ей начальной относительной скорости, то из трех сил, которые могут заставить точку совершать относительное движение, одна, а именно, кориолисова сила инерции обращается в нуль, так как нулю равна относительная скорость, а две другие уравновешиваются. Следовательно, точка останется в относительном покое.

значений проекций j, суть





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 [73] 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0039