Главная Промышленная автоматика.

Все вышесказанное применимо и к случаю, когда обе линейки пересекаются. Нужно отдельно рассмотреть частный случай, когда обе прямые параллельны. (Пенлеве, там же, стр. 36.)

11. Две точки А и В тяжелого твердого тела скользят без трения по двум неподвижным параллельны.м прямым L и L. Найти движение системы.

Центр тяжести G тела не находится, вообще, на прямой АВ. Пусть Р - основание перпендикуляра, опущенного из G на АВ. Точка Р описывает параллельную линиям L и L прямую, которую мы примем за ось z. Ось Ох есть перпендикуляр к L и L, проведенный в плоскости этих прямых.

Двумя параметр;; ми, определяющими положение системы, являются величина С, которая служит координатой z точки G, и угол ф между полуплоскостями ABG и ABz, отсчитываемый положительно справа налево вокруг направления АВ.

Из теоремы о движении центра тяжести в проекции на ось Oz получим первый интеграл уравнений движения. Действительно, так как реакции в точка} А и В нормальны к Z, и то

где через я, р, f обозначены составляющие по осям Ох, Оу, Oz ускорения силы тяжести. Следовательно,

Из теоремы кинетической энергии получим другой интеграл, содержащий- ф, ф, С и С. Если подставить в него С и С, выраженные в функции t, то t исключится. Тогда можно будет найти ф в зависимости от t через квадратуру. Получится:

ф [А -f cos3 ф] = В cos ф -f С sin ф -f h,

где А, В, С-постоянные. (Пенлеве, там же, стр. 38.)

12. Концы А » А однородного тяжелого стержня длины 21 и массы Л1 скользят без трения по двум неподвижным горизонтальным плоскостям, имеющим уравнения z- ±а. Каждый элемент стержня притягивается началом О пропорционально его массе и расстоянию. Найти движение стержня и реакции плоскости.

Обозначить через £ и т) координаты центра тяжести G стержня в плоскости хОу, через 9 - постоянный угол, образуемый стержнем с вертикалью, и через ср - угол, который образует проекция стержня на плоскость хОу с осью Ох, через fi - притяжение точки О, действующее на единицу массы на расстоянии, равном единице.

Найти поверхность, описываемую стержнем, когда начальное значе-

ние численно равно (х. (В некоторых частных случаях эта поверхность

является гиперболоидом.)

13. Тяжелое твердое тело S имеет форму прямого конуса, радиус основания которого равен R. Центр тяжести этого тела находится в точке О оси вращения конуса па расстоянии R от основания. Эллипсоид инерции тела S для центра тяжести О является сферой.

Конус S движется вокруг своего неподвижно закрепленного центра тяжести О и окружность его основания касается неподвижной горизонтальной плоскости 11, расположенной под точкой О на расстоянии R от нее.

Исследовать движение тела S, предполагая, что окружность основания конуса скользит с трением по плоскости П.

Вычислить реакции плоскости П и неподвижной точки О.



Начальные условия. Пусть 00 - перпендикуляр, опущенный из точки О на плоскость П, и ОС -первоначальное положение перпендикуляра, опущенного из точки О на основание конуса. В момент < = О мгновенная ось вращения проходит внутри угла СОО и направление вращения выбрано таким образом, что тело S опирается на плоскость П. (Кандидатский экзамен, 1895.)

14. Рассмотрим тяжелое тело, для которого выполняются следующие условия:

1° тело ограничено ребром, имеющим форму окружности К радиуса а с центром к точке Я;

2° центр тяжести G тела находится на перпендикуляре Яг, восставленном в центре Я к плоскости круга С;

3° эллипсоид инерции для центра тяжести G является эллипсоидом цращения вокруг этого перпендикуляра HGz.

Допустим теперь, что такое тело катится без скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости, и найдем уравнения движения.

Пусть Р--точка касания круга К с неподвижной плоскостью. Примем за подвижное начало точку G и за подвижный триэдр отсчета следующие оси: 1° прямую Gy, параллельную прямой РЯ, соединяющей центр круга Ц с точкой касания Р; 2° прямую HGz, нормальную к плоскости круга К; 3° прямую Gx, перпендикулярную к плоскости zGy.

Обозначим через 8 угол между Gz и направленной вверх вертикалью Gz-, а через ф - угол между осью Gx и какой-нибудь неподвижной вертикальной прямой. Эти два угла определяют положение триэдра.

Чтобы найти положение тела относительно триэдра Gxyz, достаточно найти угол ср между радиусом круга К, неизменно связанным с телом, и осью Gy. Мгновенная угловая скорость Q триэдра и мгновенная угловая скорость (О тела определяются теми же формулами, что и для обруча (п. 411).

Прилагая такой же метод, как и в указанном пункте, и полагая HG = с, найдем, что q я г определяются в функции 6 из двух совместных линейных однородных уравнений первого порядка. Исключение из этих уравнений q приводит к линейному уравнению

Аа+Се- + АС (cctge-a)r = 0,

из которого можно определить г в функции б. После этого можно найти уже q тоже в функции 8.

Если затем взять уравнение энергии

и2 +-1- и;2 + (рг + qi) + Сг2 = - 1g (а sin 6 -f cos 8) + h,

10 найдем б в функции t при помощи квадратуры. (Аппель, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, август 1899.)

Можно аналогичным методом исследовать движение тяжелого тела вращения, катящегося без скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости. Мы вернемся к этой задаче в аналитической механике как к примеру неголономной системы. Детальное исследование этой задачи можно найти в небольшой монографии под названием «Движения качения в динамике» [Les mouvements de roulement en Dynamique (Collection Scien-tia, Oauthier-Villars, editeurs)].

15. Качение шара no поверхности (Routh, Advanced part of a Treatise on the Dynamics of a system of Rigid Bodies, 1884). Однородный шар радиуса a и массы 1, который может вертеться и катиться без скольжения по данной поверхности, находится под действием сил, приводящихся к одной равнодействующей, проходящей через его центр.

Пусть G - центр шара. Примем за ось Gz прямую, соединяющую точку G с точкой касания шара с поверхностью, а за оси Gx и Gy-две



произвольные перпендикулярные оси; тогда плоскость дгОу будет параллельна касательной плоскости к поверхности в точке касания с шаром.

Обозначим через V абсолютную скорость точки G и через и, V, w - ее проекции на подвижные оси. Так как скорость V параллельна общей касательной плоскости к шару и к поверхности, по которой он катится, то и; = 0. Пусть, как и выше, Q - мгновенная угловая скорость триэдра Gxyz и Р, Q, R - ее составляющие, а ю - мгновенная угловая скорость сферы и р, q, г - ее составляющие.

Пусть X, Y, Z - составляющие по осям Gx, Gy, Gz равнодействующей всех приложенных сил. Реакция поверхности складывается из нормальной силы N, направленной по Gz, и касательной силы, составляющие которой по Gx и Gy мы обозначим через F и F. Обозначим также через k радиус

инерции шара относительно диаметра, т. е. -g-.

Уравнения движения будут:

Эти уравнения показывают, что центр тяжести движется как центр тяжести такого же шара, катящегося без трения по той же поверхности и находящегося под действием: Г силы, приложенной к центру G и имеющей

составляющие по Gx и Gy, равные аРг и aQr; 2° силы,

равной приложенной силе {X, Y), умноженной на д2 •

16. Примеры. Если неподвижная поверхность, по которой катится шар, является плоскостью, то Я и Q равны нулю. Следовательно, если однородный шар вертится на неподвижной плоскости и катится по ней под действием сил, имеющих равнодействующую, проходящую через ее центр, то движение центра будет таким же, как если бы плоскость

была идеально отполирована, а приложенные силы составляла у их

значений. (Раус, там же, стр. 126.)

Относительно других примеров мы отошлем к сочинению Рауса, содержащему большое число изящных упражнений, в частности примеров качения шара по сфере, по цилиндру, по конусу и малых колебаний около положения устойчивого равновесия или устойчивого движения.

17. Обобщение задачи об обруче. См. работу киевского ученого Воронец «ОеЬег die rollende Bewegung einer Kreisscheibe auf einer Beiiebigen Flache...», Mafhem. Annalen, т. LXVH, 1909.

18. Движение твердого тела, внутри которого имеют место заданные стационарные циклические движения. См. статью Сильвио Эна (Silvio En а, Memorie della R. Accademia de Lincei, 5 ser., VII, 1909).





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 [72] 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0036