Главная Промышленная автоматика.

(C+«2)J-a29=0,

A-Cr + AqcigbO,

(11)

образующих систему линейных однородных уравнений, определяющих q ъ г в функции 6. Найдя из первого уравнения q и внеся во второе, получим для определения г уравнение второго порядка

Из этого уравнения г определяется в функции 6. Первое из уравнений (11) служит для определения q. Присоединяя к нему уравнение энергии

«2 + «2 и)2 4- (р2 4 ф) 4- Сг2 = - 2ga sin 6 -f h,

получим 6 в функции t при помощи квадратуры. Правая часть этого уравнения есть удвоенная работа веса - g, где I обозначает координату а sin 6 точки G.

Интегрирование уравнения (12). При помощи подстановки

cos2 е = S

уравнение (12) приводится к виду

d-r , / I 3 \ rfr Са

Это уравнение гипергеометрического ряда Гаусса, в котором

1 , о 1 о Са

Y = . « + Р=у, 4А(С + а):

Известно, что общий интеграл уравнения Гаусса (Собрание сочинений, т. Ш, стр. 210) есть

Х/(а, р, т, х)+ txxl-f/(a -Н 1 - Y. Р + 1 - Т. 2 - Т. х), 15 Зак. 922. П. Апсель, т. II

Исключим X из первого уравнения (6) и из последнего уравнения (7). Получим

du . . С dr

или, заменяя и, V, w их значениями из уравнений (8),

(С+а)~-ард=а. (9)

Присоединим к этому уравнению второе из уравнений (7):

A-{Cr-Aqc\gb)p=Q. (10)

Мы получим таким образом два уравнения, которые могут служить для определения q л г ъ функции 6. В самом деле, заменим в них р через ; тогда множитель dt исчезнет и получатся два уравнения



получим общий интеграл уравнения (10) в виде

r = VF

а, р, 1. 1 (1 -f .)] -f fxF [а, р, 1, 4 (1 - X)

{X = COS 6). (15)

Это решение имеет преимущества в двух частных случаях; когда В может достигать значения 0° или 180° и когда 9 к такому значению неограниченно приближается.

Во-первых, оно показывает, что в одном и том же движении угол 6 не может принимать оба значения, если только г не равняется все время нулю. В самом деле, подстановка х = \ в случае, когда V отлично от нуля, и подстановка х - -1 в случае, когда fi отлично от нуля, приведут к бесконечному значению для г, ибо тогда аргумент ряда обратится в положительную единицу, в то время как «-fp - т будет равно нулю. Очевидно, что бесконечному значению г будет отвечать бесконечное значение кинетической анергии, а последняя такого значения принимать не может.

где X и fi обозначают две произвольные постоянные. Следовательно,

Г = -Кг(а, р, .cOS2e) + (XCOs6f(a+l, Р + у , "J , COS б)

После этого получаем:

С + а dr

что выражает q в виде гипергеометрического ряда. Наконец, из уравнения

d л, о

энергии, в котором р - -, определяется г в функции 8 при помощи квадратуры.

Для интегрирования уравнения (12) можно использовать также подстановку, указанную Кортевегом (Korteweg, Rendiconti del Circolo di Palermo, t. XIV, стр. 7). Действительно, это уравнение при помощи подстановки

cos = X

преобразуется в следующее: Новые подстановки

х = ± (1 -20

приводят его к виду

В этой форме уравнение отождествится с уравнением гипергеометрического ряда, если положить

, = 1, а + Р = 1. (14)

Следовательно, оно допускает частный интеграл

F{a, р, 1, t). Полагая последовательно в этом интеграле

t{\±x),



V, 1, (I-a:)

Очевидно, что движение, в котором угол 6 принимает значение, равное 0°, может осуществляться лишь в тех случаях, когда, как для обруча, вся масса тела сосредоточена в одной плоскости (Кортевег, 1ос. cit.).

412. Координаты твердого тела по Штуди (Stndy). Во всех предыдущих приложениях мы определяли положение тела в пространстве шестью независимыми координатами S, т], С, в, ср, ф. В 1891 г. Штуди (Mathematische Annalen, т. XXXIX) указал для определения положения тела систему восьми однородных координат, связанных билинейным соотношением, представляющих замечательную аналогию с шестью плюкеровыми координатами прямой, связанными одним билинейным соотношением. Штуди вновь вернулся к этой теории в своей книге «Геометрия динамы > (Geometrie der Dynamen, 1903, стр. 580-583). Сведения об этой системе координат можно найти также в статье Брикара (Bricard, Sur la Geometrie des feuiliets de M. Rene de Saussure, etude analytique, Nouvelles Annales de Matiiematiques, январь 1910).

Штуди вычислил в своей системе координат кинетическую энергию твердого тела. См. статью, помещенную в журнале Жордана (Journal de М. Jordan, т. VII, 1911).

УПРАЖНЕНИЯ

1. Может ли при движении тяжелого тела вращения, скользящего без трения по горизонтальной плоскости, его ось вращения пройти через вертикаль? Каковы должны быть для этого начальные условия?

2. 1°. Тяжелая пластинка ABC, периметр которой имеет прямолинейный отрезок АВ, опирается ребром на горизонтальную плоскость, по которой это ребро скользит без трения. Пластинка, будучи в начальный момент неподвижной, предоставлена действию силы тяжести.

Требуется узнать необходимые и достаточные условия для того, чтобы во время движения ребро АВ перемещалось параллельно своему начальному положению.

2°. Искомое условие будет, в частности, удовлетворено для однородной пластинки, периметр которой является полуокружностью.

Рассмотреть однородную пластинку, представляющую собой половину круга радиуса 1 м. Допустить, кроме того, что в начальный момент пластинка неподвижна и образует с горизонтальной плоскостью угол 30". Требуется при этих частных предположениях найти верхний и нижний пределы для времени, которое истечет от начального момента до того момента, когда пластинка сольется с горизонтальной плоскостью.

3. Уравнения движения тяжелого тела на совершенно гладкой горизонтальной плоскости. Предполагается, что тело ограничено произвольной выпуклой поверхностью S, определяемой следующим образом. Пусть Gxyz--главные оси инерции для центра тяжести тела. Проведем касательную плоскость Р к поверхности S и обозначим через f> т. т" косинусы углов, которые образует нормаль Gz, к плоскости Р с осями Gxyz. Расстояние С от точки G до касательной плоскости Р, а также координаты х, у, Z точки касания суть известные функции косинусов у, l. Т"- Например, если S есть эллипсоид с осями а, Ь, с, направленными по Gxyz, то для С получается значение УдЗг 4. гу -cy".

Во-вторых, ОНО показывает, что для того, чтобы 6 могло принимать, например, значение 9 = 0°, постоянная \ должна равняться нулю.

Следовательно, в этом случае выражение для г примет более простую форму, а именно:





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 [70] 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0036