Главная Промышленная автоматика.

dt" • dt

Внося эти значения p vl q в уравнения (5), приведем их к виду

« = (l + )dF. * = +

) dt 2

и так как -=5- = - , то составляющие конечной скорости центра тяжести суть

di 5 dr, 5 , -dFy -dF = y*-

Таким образом, эти составляющие известны как функции начальных условий, которые на основании равенств (5) позволяют вычислить а и Ь.

Может, например, случиться, что в уравнениях (5) начальные значе-di dfi ,

ния ~-, -j положительны, но начальные значения ряд выбраны таким

образом, что а я b отрицательны. Тогда вначале центр тяжести, если предположить, что он находился внутри положительного угла Ют), будет удаляться

/-. - л. di d-n

от точки о, но во второй фазе ~, станут отрицательными и шар

будет возвращаться обратно, катясь и вертясь таким образом, что он будет приближаться к точке О.

Трение качения. Эффект трения качения на щар исследован Аппелем (Journal de Jordan, 6" serie, т. VII, 1911).

411. Обруч. Представим себе тяжелое твердое тело, для которого выполняются следующие условия: 1° тело оканчивается ребром, имеющим форму окружности К радиуса а; 2° центр тяжести тела G совпадает с центром окружности К, 3° эллипсоид инерции относительно центра тяжести G является эллипсоидом вращения вокруг перпендикуляра Gz к плоскости окружности.

Допустим далее, чтс это тело заставляют катиться без скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости П.

Интегрирование этой задачи механики может быть приведено к квадратурам, если ввести в качестве аналитического элемента гипергеометрическую функцию Гаусса. Это обстоятельство имеет, в частности, место для движения обруча *).

Пусть Н-точка касания окружности К с неподвижной плоскостью (рис. 244). Для изучения движения тела вокруг своего центра тяжести G возьмем сначала три оси дх, Оух и Gz постоянного направления, причем ось Ог, направим по вертикали вверх. Далее возьмем три подвижные оси следующим образом: 1° ось Gz - нормаль к плоскости окружности К; 2° ось дх - перпендикуляр к плоскости zGzi, 3° ось Оу - перпендикуляр к двум первым.

Ось дх является горизонтальным диаметром окружности К; ось Оу является линией наибольщего восходящего уклона плоскости окружности; точка Н находится на отрицательной части оси Оу.

Эти подвижные оси тождественны с теми, которыми мы пользовались в п. 400 для изучения движения тела вращения, закрепленного в одной из

*) См. Кортевег и Аппель, Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, август 1899, т. XIV, стр. 1-7,

постоянна по величине и направлению. Ее можно рассматривать как заданную ее значением в начале движения, и она не зависит от любого предположения относительно закона касательной силы F. В частности, когда устанавливается чистое качение (вторая фаза), и и и равны нулю и мы имеем

= 4R. ~r = -pR-



точек своей оси. Так же как и в том пункте, мы обозначим через 6 и ф углы ZiGz и XiGx и через Р, Q, R - составляющие по осям Gx, Gy, Gz мгновенной угловой скорости вращения Q триэдра Gxyz:

Р = 6, Q = ф sin е, Р = ф cos 8. (Q)

Если положение триэдра Gxyz известно, то, для того чтобы узнать положение тела, достаточно будет знать еще угол ср, который образует радиус GM окружности К, неизменно с ней связанный, с осью Gx. Мгновенная угловая скорость to тела будет тогда результирующей угловой скорости Q триэдра Gxyz и угловой скорости ср вокруг оси Gz. Следовательно, составляющие р, q, г этого вращения будут (п. 400):

р = Р=Ь\ = Q = фsin8, r=P-f<p. (ю)

Обозначим через и, v. w проекции абсолютной скорости центра тяжести на подвижные оси Gxyz. Так как эти оси совершают мгновенное вращение


Рис. 244.

с угловой скоростью Q, то проекции абсолютного ускорения у" точки G на те же оси на основании известных формул (т. 1, п. 61) будут:

-\rQw - Rv,

Силы. Положим для простоты, что масса тела равна единице. Силы, действующие на тело, следующие:

1° лес g, приложенный в точке G, с проекциями на оси Gx, Gy, Gz, равными о -sine, -cos8;

2° реакция плоскости, приложенная в точке Н и имеющая проекции

X, Y, Z.

Уравнения движения могут быть составлены следующим образом.

Уравнения движения центра тяжести. Проекция ускорения у точки G на каждую из осей Gxyz равна сумме проекций внешних сил на ту же ось. Таким образом, получаются три уравнения:

+ Qw-Rv=X,

dv dt dw

Ru -Pw = Y - g sinb, Pv - Qu = Z - g cos e,



ияи, так как Р = р, Q=q, /? = ? ctg в.

A + iCr-Aq ctgO) 9 = aZ, A-(Cr-Aqcig 6)p = 0,

Геометрические условия. Чтобы выразить, что окружность К катится по плоскости, нужно написать, что скорость материальной точки касания Н равна нулю. Эта скорость является геометрической суммой скорости (и, v, w) поступательного движения осей Охуг, равной и параллельной скорости точки О, и скорости, вызванной вращением to вокруг точки О. Эта последняя скорость имеет составляющие по осям Gxyz, равные qz - ry, где х, у, z суть координаты точки /7(0,-а, 0). Записав, что проекции скорости материальной точки Н на оси Gxyz равны нулю, получим таким образом уравнения

u-j-a/- = 0, t/ = 0, и; -ар = 0. (8)

Находя из этих равенств и, v п w к подставляя их в уравнения (6), получим систему шести уравнений (6) и (7), определяющих 6, ср, ф, X, У, Z.

Исключая из них X, У, Z, получим три уравнения, определяющих 6, ср, ф в функции t.

Чтобы закончить вычисления, можно поступить следующим образом.

в которых нужно положить

P = p,Q=q, R = qagb.

Уравнения движения вокруг центра тяжести. Обозначим через А, В. С моменты инерции обруча относительно осей Gxyz. Пусть в относительном

движении вокруг точки G вектор Оа представляет собой главный момент

количеств движения относительно точки О. Этот вектор Оа имеет на оси Oxyz проекции

ад, = Ар, Су = Aq, = Cr.

С другой стороны, главный момент OS внешних сил относительно О состоит ИЗ момента веса, равного нулю, и момента реакции (X, У, Z), приложенной в точке Н с координатами (О, - я, 0). Следовательно, главный момент OS имеет проекциями моменты реакции относительно осей Gxyz:

Soc = - aZ, Sy = 0, Sg = aX.

Для того чтобы выразить теорему моментов в относительном движении вокруг точки О, напишем, что относительная скорость точки а по отношению к осям GxyiZi постоянного направления, проведенным через точку О,

равна вектору OS. Таким путем получаются уравнения (п. 386):





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 [69] 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0037