Главная Промышленная автоматика.

нулю и нужно узнать, будет ли ф оставаться равным нулю в течение всего времени движения. Имеем, следовательно, /< = 0. Так как 9 не равно нулю, то уравнение (12) показывает, что для того, чтобы ф было все время раато нулю, необходимо и достаточно, чтобы было Е = 6 и F -0. Это означает, что плоскость прямого сечения yGz, проведенная через G, должна быть главной плоскостью инерции для точки О.

410. Движение с трением однородного тяжелого шара по горизо -тальной плоскости (бильярдный шар). Возьмем в горизонтальной плоскости, по которой движется шар, две неподвижные оси Oi и 01 (рис. 243); в качестве оси С примем направленную вверх вертикаль. На шар действуют две силы: его вес Mg, приложенный в его центре G, и реакция плоскости, приложенная в точке касания А. Эта реакция имеет вертикальную соста-вл£<ющую N и горизонтальную составляющую F. Проекции последней составляющей на оси Oi и Oi суть X и Y.

Таким образом, уравнения движения центра тяжести получатся следующие:

df М =

= Y,

d% df

= - Mg-ir N.


Рис. 243.

Так как С остается постоянной, то из последнего уравнения имеем:

N = Mg.

Следовательно, нормальная составляющая реакции всегда равна весу шара. Тогда законы трения скольжения показывают, что касательная составляющая F равна постоянной величине

F = fMg.

Для наблюдателя, совершающего переносное движение вместе с центром тяжести, кажется, что шар вращается вокруг этой точки. Пусть to - мгновенная угловая скорость в момент t. Мы обозначим через р, q, г ее составляющие по трем осям Gxyz, параллельным неподвижным осям и проведенным через центр шара. Применим к этому относительному движению теорему моментов количеств движения относительно осей х, у, г. Так как относительная скорость какой-нибудь точки т (х, у, г) имеет проекции

Va;=qz~ry,

Vy = rx-

-pz, Vg = py - qx,

то момент количества движения этой точки относительно оси Gz будет: m(xVy - yVai) = rm {х -f уЗ) рщхг - qmyz.

Составим сумму всех аналогичных величин для различных точек шара. Получим

m(xVy- yV) = МК?г,

так как суммы тхг, "myz равны нулю, а сумма ni{xу) есть момент инерции МК. шара относительно диаметра. Все силы, приложенные



dt ~ dt dt dt ~ dt dt

d4 dT) dp dq Заменяя в этих уравнениях -j > Jji> > значениями, которые получаются из уравнений (1) и (2), имеем:

dt ~ М МК"- dt ~ М МК

Разделив одно равенство на другое, получим

du X dv ~ Y

и поэтому

du и dv ~v

или, интегрируя,

- = const.

Таким образом, сила трения постоянна по величине и направлению. Так как движение точки G происходит под действием только этой силы, то траектория этой точки является параболой.

Так как составляющие X, Y силы трения являются постоянными, то лроекции и и V скорости точки, находящейся в А, будут на основании

к шару, пересекают ось Ог. Поэтому имеем уравнение

-(A1/CV)=0,

которое показывает, что вертикальная составляющая вращения остается постоянной.

Аналогичными вычислениями получим для осей Gx и Gy уравнения

MK = RY, MK? = -RX. (2)

dt dt

в которых правые части суть моменты силы F относительно осей Gx и Gy.

Применим теперь второй закон трения, согласно которому направление силы Fпротивоположно направлению скорости точки на поверхности шара, занимающей положение А. Абсолютная скорость этой точки есть результирующая переносной скорости , -j-, и относительной скорости У- = - ЧР>

Vy = pR, Vg = 0. Если мы обозначим через м и « проекции искомой скорости на 05 и Oil, то сможем написать:

Нам нужно выразить, что X л У пропорциональны мни:

Мы сейчас покажем, что скорость {и, v) точки, находящейся в А, имеет постоянное направление. Действительно, дифференцируя последние уравнения, находим

du d"-i dq dv d > d dp



уравнений (3) линейными функциями времени. Эти величины уменьшаются по абсолютному значению. Если мы, например, предположим, что и положительно, то X будет обязательно отрицательным на основании законов

трения. То же самое будет тогда и для и и уменьшается. При этом v

обязательно достигнет по истечении конечного промежутка времени Т значения, равного нулю, так как эта величина является линейной функцией времени. Если и отрицательно, то X будет положительным и и будет при-

ближаться к нулю, увеличиваясь. Так как отношение - постоянно, то обе

составляющие скорости обратятся в нуль в один и тот же момент. Начиная с этого момента Т, скольжение прекратится, а получающееся после этого качение совместно с верчением будет устойчиво, так как, если повлиять на катящийся шар, сообщив ему небольшое скольжение, то согласно предыдущему это скольжение исчезнет по истечении очень короткого промежутка времени.

Следовательно, начиная с момента Т, движение будет качением с верчением. Касательная реакция F плоскости будет тогда силой неизвестного направления, подчиненной условию f < fN. Мы сейчас покажем, что если пренебречь трением качения и верчения, то, начиная с момента 7", движение центра тяжести G обратится в прямолинейное и равномерное и сила F г,танет равной нулю. В самом деле, если мы будем продолжать обозначать через X и Y проекции силы F в этой второй фазе, то уравнения (1) и (2) останутся по-прежнему справедливыми в той же форме. Исключая из этих уравнений X и Y, получим

dfl R dt dti R dt

Так как в этой новой фазе имеет место качение с верчением, то величины и и V равны нулю, и мы имеем

§-qR = 0. + PR0.

Внося получающиеся отсюда значения величии р п q ъ уравнение (4), найдем

£1 = 0 = 0

dt Л2

Следовательно, движение точки G прямолинейно и равномерно и уравнения (1) показывают, что X п Y, а следовательно и сила F, равны нулю.

Согласно замечанию Кориолиса, так как уравнения (4) получаются исключением X и К, то они будут иметь место, какова бы ни была касательная реакция плоскости. Следовательно, они имеют силу в течение всего времени движения как в его первой фазе, так и. во второй. Но эти уравнения непосредственно интегрируются и получается

di „ d-q

Чтобы истолковать эти формулы, возьмем точку Н, расположенную над центром на расстоянии GЯ = -=5-=-=-Р. Ее координаты относительно си-

г\ О

стемы Gxyz будут О, О, . Отсюда следует, что левые части предыдущих

уравнений суть проекции на оси Oi и абсолютной скорости точки шара, находящейся в рассматриваемый мо.мент в Н. Мы видим, что эта скорость





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 [68] 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0037