Главная Промышленная автоматика.


ЧТО образуются два подшипника, в которых лежат концы оси гироскопического волчка. При этом средняя плоскость ротора волчка проходит через DE. Центр тяжести волчка находится на его оси в плоскости, проходящей через DE перпендикулярно к оси АС.

Если волчок не вращается, то равновесие неустойчиво. Прибор качается вокруг DE. Но если волчок вращается вокруг своей оси с большой угловой скоростью (приблизительно 50 оборотов в секунду), то кажется, что система находится в положении устойчивого равновесия, когда плоскость DBE вертикальна. Отсюда наименование эквилибриети-ческая стойка, данное этой игрушке ее изобретателем. В действительности прибор совершает вокруг кажущегося положения равновесия колебания, обнаруживаемые звуком.

Так как масса волчка велика по сравнению с массами оправы и ножки, то последними можно вполне пренебречь. Тогда оправа и ножка, имеющие массы, равные нулю, будут служить лишь для установления между волчком и осью геометрической связи, которая выражается следующим образом. Обозначим через С расстояние от центра тяжести G волчка до горизонтальной плоскости, через / - длину перпендикуляра, опущенного из этой точки G на DE. Когда прибор поворачивается вокруг DE, то ось волчка образует с направленной вверх вертикалью угол 8 и С = / sin 9. Это соотношение тождественно с тем, которое встречается в задаче о движении монеты по горизонтальнй плоскости, и уравнения движения в рассматриваемом случае выводятся из предыдущих общих уравнений, если положить /(8)= / sin 8. При этом применимо замечание Пюизё, и если предположить Го достаточно большим, то О останется сколь угодно близким к во.

В частном случае, когда ось АС вначале горизонтальна и находится в покое, начальное

значение 8 будет , а начальные значения 6 и ф равны нулю. Тогда общие уравнения показывают, что 9 остается равным , р = 0, ф = О и ф = const.

Подобное исследование можно найти в статье Карвалло (Carvallo, Bulletin de la Societe mathematique, XXI, 1893).

408. Замечание Томсона. Мы только что видели, что если тело, быстро вращающееся вокруг своей оси, положить на плоскость так, чтобы не сообщить его центру тяжести никакой скорости, то движение будет устойчиво в том смысле, что угол между осью вращения и вертикалью будет почти постоянным. Весьма примечательно, что если на тело наложить дополнительные связи, то они вместо того, чтобы усилить устойчивость, могут ее нарушить.

Возьмем, например, волчок (рис.241), боковая поверхность которого является частью кругового цилиндра, и поместим его между двумя идеально гладкими неподвижными вертикальными плоскостями П, параллельными плоскости (см. рис. 239), причем так, чтобы ось Gz волчка была тоже вынуждена все время оставаться в неподвижной плоскости, параллельной пло-




скости £0С. При этих условиях угол ф будет постоянным и равным ; ф = 0. Поскольку речь идет о волчке, то метод составления уравнений будет таким же, как и раньше, при условии, что ф =, /(6) =/cos 9

и что на тело действуют дополнительно внешние силы, являющиеся нормальными реакциями двух плоскостей II. Эти реакции горизонтальны и пересекают ось Gz тела.

Так как начальная скорость центра тяжести G равна нулю, то горизонтальная проекция Q этой точки неподвижна.

Применяя к абсолютному движению теорему кинетической энергии, получаем [первое уравнение (6) при ф = О, /(9) = / cos 9)]:

9 (1 -f cf sin2 9) = a - а/ cos 9.

Если предположить, что в начальный момент ось волчка неподвижна и ему сообщено вокруг этой оси вращение Го, то 9 должно быть равно нулю при 9 = 6q. Следовательно, имее.м а = al cos 9о и

62 (1 + cf sln2 9) = al (cos 9o - cos 9).

быть положительной, то 6, начиная со и волчок опрокинется. Одновременно

Так как правая часть должна значения Эд, будет увеличиваться здесь будет 9 = Гд.

То же самое замечание применимо и к эквилибристической стойке (п. 407, 4°). Если основанию DE прибора воспрепятствовать поворачиваться, поместив его в щель пола, то прибор опрокинется.

409. Тяжелое тело, касающееся гладкой горизонтальной плоскости цилиндрической поверхностью. Пусть тело касается горизонтальной плоскости вдоль всей образующей РР (рис. 242). Возьмем те же неподвижные оси Oi-t и те же подвижные оси GxiyiZ,, что и в предыдущем случае.


Рис. 242.

Далее выберем в качестве осей, связанных с телом, проведенную через центр тяжести прямую Gx, параллельную образующим цилиндра, и две взаимно-перпендикулярные оси Gy к Gz в плоскости прямого сечения. Перпендикуляр С = GQ, опущенный из точки G на горизонтальную плоскость, образует с Gi угол, который мы обозначим через 6. Тогда, если фор.ма прямого сечения дана, то мы по-прежнему будем иметь геометрическое соотношение вида С = /(9). Более того, так как ось Gx, будучи параллельна горизонтальной плоскости, находится в плоскости XiGy,, то



угол Эйлера tp равен нулю. Следовательно, выражения для р, д и г принимают вид

р = &, 9 = фб!пе, г = фсо8б. (10)

Горизонтальная проекция Q центра тяжести по-прежнему совершает прямолинейное и равномерное движение, так как единственные внешние силы -вес и нормальные реакции плоскости, вертикальны. Общий случай может быть приведен к частному, когда точка Q неподвижна.

Так как в рассматриваемом случае оси Gxyz не являются главными, то кинетическая энергия тела в его движении вокруг центра тяжести будет

2Т = Ар"- + Вд -f Сг2 - 2Dqr - 2Егр - 2Fpq,

и проекции главного момента Ga количеств относительного движения на оси Gxyr будут

дТ дТ дТ др дд дг

Следовательно, применяя теорему кинетической энергии к абсолютному движению, согласно теореме Кёнига и значениям р, д, г, получим

[А + Mf (6)1 4- (В sin е -f С cos2 6 - 2D sin 6 cos 9) ф -

- 2 (/ sin 6 + £ cos 6) 9ф = - 2Mgf (9) -f Л. (11)

С другой стороны, сумма моментов сил относительно оси Gz равна

нулю и, следовательно, проекция главного момента Gaj количеств относительного движения на Gz постоянна. Отсюда получаем

Так как в рассматриваемом случае = О, то три косинуса t, Y> f имеют значения: -( = 0, f = sin в, f - cos 9, и мы имеем

sin 6 (Bg - Fp-D г)-{-cos Ч (Cr - Dq - Ер) К,

или, наконец,

(S sing + С C0S2 9 - 2D sin 9 cos 9) ф (/=- sin 9 -f £ cos 9) 9 = К- (12)

Эти два уравнения определяют 9 и ф в функции t. Исключение ф приводит к уравнению вида

(f/-.(., = o.

откуда определяем -jj- в функции 9, а затем при помощи квадратуры определяем t в функции 9. После этого ф получается в функции 9 при помощи другой квадратуры. Угол 6 может принимать лишь такие значения, при которых величина Ч"" (9) положительна. Мы предоставляем читателю самому произвести более подробный анализ и найти, как и раньше, геометрическое место проекций Р центра тяжести на соприкасающуюся образующую.

Если тело является призмой, положенной на плоскость по ребру РР, то можно принять плоскость GPP за плоскость XZ. Тогда GQ = С = / cos 9, где / есть длина отрезка GP.

Примечание. Допустим, что тело предоставлено самому себе без начальной скорости. Исследуем, может ли образующая, по которой происходит касание, перемещаться параллельно самой себе. (Кандидатский экзамен, 1893.) При это.м предположении начальные значения 9 и ф равны





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 [67] 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0038