Главная Промышленная автоматика.

[1 + ef- (6)16 + ф sin2 6 = 0 - а/(8)

48), I qcos 8, I

где а и р - произвольные постоянные, в то время как а, b и с - постоянные, имеющие вполне определенные значения:

м с м

« = 2:4 * = = = j-

Два уравнения (6) определяют 8 и ф в функции времени. После этого ср находятся из соотношения

Го = cp-f ф cos 9. (7)

Исключая ф из обоих уравнений (6), получим

() tl + ef (8)1 sln3 8 = [а - а/(9)] sine - (Р - br„ cos 6)2, (8)

откуда t выражается через 8 при помощи квадратуры. Если /(9) является рациональной функцией от sin 9 и cos 9, то эта квадратура будет гиперэл-

липтической, если принять за независимую переменную tg -g-. Угол В начиная со значений 9 может принимать только такие значения, при которых правая часть равенства

Ф (9) = [а - а/(9)] sinS 9 - (р - &Го cos 8)2

положительна.

Заметим, что так как /(9) обозначает расстояние от центра тяжести до неподвижной плоскости, то эта функция остается всегда конечной. Подставим в функцию Ф(9) вместо 8 значения О, %, %. Тогда для функции Ф(9) мы получим знаки -, --, -, так как начальное значение 9о дает очевидно для 9 вещественное значение. Следовательно, значениие % заключено между двумя вещественными корнями 9 и 92 функции Ф(9) и 9 может колебаться лишь между этими корнями. Таким образом, анализ задачи аналогичен проделанному нами в предыдущей главе подробному анализу для движения тяжелого тела вращения вокруг одной из точек своей оси. Исключение dt позволяет определить также ф и ср в функции 8 при помощи квадратур.

кривая, описываемая на плоскости точкой касания. Так как точка Q предполагается неподвижной, то мы можем принять ее за начало полярной системы координат, у которой полярная ось QX параллельна оси Gx. Радиус-вектор QP = р является известной функцией от 9;

Р = ±/(е)-

Она определяется формой поверхности вращения, по которой тело касается плоскости. Полярный угол х = хдр равен ф-- у. Действительно, плоскость GQP совпадает с плоскостью, проектирующей на горизонталь ось вращения, т. е. с плоскостью гОг. Но нормаль GI к этой плоскости образует с осью Gxi угол ф. Следовательно, нормаль QH к радиусу-вектору QP

В уравнениях (3) и (4) заменим г через Гц, р и q через их значения в функции производных 6, ср, ф (п. 382), С через /(8) и через / (6) О. Тогда эти уравнения примут вид



dt ~~di~

sinae

Исключая dt из этого уравнения и из уравнения (8), мы можем при помощи квадратуры получить х в функции 6, а так как р связано с в известным уравнением р = + / (6), то при помощи еще одной квадратуры мы можем получить х также в функции р.

2°. Общий случай. Мы предположили, что точка Q неподвижна. В общем случае эта точка совершает прямолинейное равномерное движение. Тогда изучают движение тела относительно осей Q, X, Y, Zi, имеющих постоянное направление и начало в точке Q. Эти оси совершают прямолинейное и равномерное переносное движение; следовательно, относительное движение тела выражается теми же уравнениями, что и абсолютное движение (п. 334). Так как в этом относительном движении горизонтальная проекция Q центра тяжести все время находится в начале координат, то задача приводится к случаю, только что рассмотренному.

Примеры. Г. Волчок. Волчок является тяжелым телом вращения, опирающимся одной из своих точек, например Р, на неподвижную горизонтальную плоскость. Эту точку можно рассматривать как сферу бесконечно

в 1


Рис. 239.

малого радиуса с центром в точке Р (рис. 239, а). Тогда тяжелое тело касается горизонтальной плоскости этой сферой. Расстояние С = QQ определяется здесь формулой

С = / cos 6,

где / - длина GP. Далее, p = QP=/sin9. Ввиду этого в предыдущих формулах надо положить /(6) =/cos 6, р = /sin 6. Тогда правая часть уравнения (8) обратится в многочлен третьей степени относительно cos 9, совпадающий с тем, который встречается в задаче Лагранжа и Пуассона.

2°. Монета. Монета радиуса /, скользящая без трения по неподвижной горизонтальной плоскости, представляет собой тело вращения, касающееся плоскости по поверхности, вырождающейся в окружность (рис. 239, Ъ). Осью поверхности является нормаль Gz к плоскости монеты, меридианом-точка окружности. В рассматриваемом случае имеем:

GQ = С = / sin 6, PQ = p = l cos 0.

в горизонтальной плоскости образует с QX угол, равный ф, и угол XQP = х действительно равен ф + -g" • Имеем, следовательно,

- Ьго cos в



(cos во -cosei)2 <

Таким образом, можно выбрать го настолько большим, что 6 и, следовательно, 8 будут отличаться от 9о сколь угодно мало.

5°. Теория эквилибристической стойки, или гироскопа Жерва (Qervat). Предыдущие вычисления могут быть приложены к движению твердого тела вращения, подчиненного связям без трения, выражаемым аналитически уравнением вида С = /(6), где С-высота центра тяжести над неподвижной плоскостью и 6 - угол, образуемый осью вращения с вертикалью. Это как раз имеет место в описываемом ниже приборе, который подчинен связям, имеющим на первый взгляд совершенно другую природу, чем рассмотренные выше.

Гироскоп Жерва ylSCD£ (рис. 240) образован металлической проволокой диаметра примерно 1,5 мм. Он состоит из части ABC, имеющей приблизительно форму полукруга, расположенного вертикально выпуклостью вниз, и из ножки BDE, часть которой £)£ прямолинейна и перпендикулярна к плоскости круга ABC. Ножка служит для того, чтобы прибор можно было поставить на горизонтальную плоскость. В j4 и С проволока изогнзта таким образом.

3°. Тело касается плоскости по тору с осью Gz. Тогда С = а cos О 4- ft sin 6 4- с.

4°. Замечание Пюизё (Puiseux, Journal de Liouville, т. XIII). Какова бы ни была форма поверхности вращения, можно взять Го настолько большим, что угол в будет оставаться сколь угодно близким к своему начальному значению б,,. В самом деле, на основании, уравнения (8) необходимо, чтобы в течение всего движения функция

Ф (6) = [а - а/ (8)] sin3 О - (р - ЬГ(, cos 6)2

оставалась положительной. Возьмем такие начальные условия: сообщим телу достаточно большую угловую скорость Го вокруг оси Gz фигуры и затем положим его на плоскость, не сообщая никакой скорости центру тяжести. Тогда rf£ rfri rfC

Р di Ht di УУ начальный момент равны нулю. Отсюда на основании выражений р и q в функции ф и 9 вытекает, что ф и 6 также равны нулю в начальный момент, т. е. при 8 - 6q. Следовательно, на основании фор.мул (6) имеем:

о = а/(во), P = *rocos6o, и функция Ф принимает вид

Ф (6) = а [/(6о) - /(8)] sin26 - b-rl (cos бо - cos 6)2,

в котором корень во выделен явно. Допустим, что -угол 6 сначала возрастает. Он не может возрастать до значения я, так как при 8 == я функция Ф(в) становится отрицательной. Следовательно, 8 колеблется между во и значением 8i, являющимся ближайшим к во корнем функции Ф (9), но меньшим, чем я. Покажем, что Го можно выбрать настолько большим, чтобы 6 было сколь угодно близко к во. Написав, что 6 обращает в нуль Ф (6), получим

(cos бо - COS ei)2 = [/(«о) -/(9,)].

Пусть D - наибольшее из расстояний от центра тяжести •рела до плоскости, которой он касается, при любом возможном положении. Тогда f(%) - /(вт) будет меньше, чем 2D, и так как sin2 8j < 1, то





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 [66] 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0038