Главная Промышленная автоматика.

И. Тяжелое тело, соприкасающееся с горизонтальной плоскостью

406. Историяеская справка. Движение тяжелого тела, касающегося неподвижной плоскости, было изучено впервые Пуассоном. В томах 5 и 8 журнала СгеПя Курно (Cournot) вновь воспользовался уравнениями Пуассона и применил их к случаю, когда принимается во внимание трение. Частный случай движения шара с трением по горизонтальной плоскости (бильярд) исследован Кориолисом в работе, опубликованной в 1835 г. Пюизё (Puiseux, Journal de Liouville, т. XIII и XVII, 1848 и 1852) приложил уравнения Пуассона к движению тяжелого тела вращения по идеально отполированной горизонтальной плоскости, изучив главным образом изменение угла, который образует ось вращения с вертикалью. Слессер (S lesser, Quarterly Journal of Mathematics, т. IV, 1861) составил уравнения движения тяжелого тела вращения, которое вертится на горизонтальной плоскости и всегда катится по ней без скольжения. Это равносильно предположению, что коэффициент трения скольжения равен бесконечности. Для решения задачи он применил оси, движущиеся в теле. Тому же методу следовал Раус (Rigid, Dynamics, т. II). Задача о качении с верчением тяжелого тела на плоскости исследована также Нейманом (Neumann, Mathem. Annalen, т. XXVII, 1886). Сошлемся, наконец, на статью Скаутена (S с h о и t е п, Proprietes generales du roulement exact d un corps de revolution sur un plan horizontal appliquees au mouvement dun corps de revolution autour dun point fixe de son axe (Verlagen der Konink lijke Akademie von Wetenschappen te Amsterdam, V, 1889). Bee эти общие методы применимы, в частности, к случаю обруча. Этот случай был исследован Ферре (Ferres, Quarterly Journal, 1872) и Карвалло (Carvallo, Journal de IEcole Poiytechnique, 2-е serie, Cahiers V, VI, 1900, 1901), a также Кортевегом (Korteweg) и Аппелем (Niew Archief voor Wis-kunde, 2-е serie, т. IV, июль 1899; Rendiconti del Circolo matematico di

3°. Планета, которая п pea полагаете я состоящей из концентрических однородных сферических слоев. В теории притяжения доказывается, что если планета является твердым телом, образованным из концентрических однородных сферических слоев, то ньютоновские силы, с которыми какая-нибудь внешняя точка f. притягивает к себе элементы планеты, имеют равнодействующую, приложенную в центре тяжести G и равную, притяжению точкой (л всей массы планеты, если предполагать ее сосредоточенной в точке О. Тогда, каково бы ни было число притягивающих точек р., результирующая сил притяжений, действующих на планету, будет приложена в точке G и будет такой же, как если бы вся масса планеты была сосредоточена в этой точке. Движение планеты вокруг своего центра тяжести будет тогда таким же, как движение твердого тела вокруг неподвижной точки G, когда силы имеют равнодействующую, проходящую через эту точку. Но в данном случае эллипсоид инерции для точки G будет, очевидно, сферой и любая ось, проходящая через точку О, будет главной. Следовательно, движение вокруг точки G будет представлять собой вращение вокруг оси, сохраняющей постоянное направление в пространстве и в теле. Явлений прецессии и нутации не будет.

495. Движение нескольких твердых тел. Когда рассматривается несколько твердых тел, то их взаимные реакции будут внутренними силами системы. В некоторых случаях бывает целесообразным рассматривать одно из тел как изолированное. Тогда нужно будет рассматривать как внешние относительно этого тела все заданные силы и все силы действия на него других тел системы.




Palermo, август 1899; Les mouvements de rouleraent en Dynamique, Collection Scientia, 1899, n°4).

Мы вернемся к этим вопросам в аналитической механике.

407. Тяжелое тело вращения, скользящее без трения по неподвижной горизонтальной плоскости. Вообразим тяжелое твердое тело, подчиненное следующим условиям: 1° эллипсоид инерции для центра тяжести G является эллипсоидом вращения вокруг оси Gz; 2° тело, ограниченное поверхностью вращения вокруг той же оси, касается неподвижной горизонтальной плоскости. Эти условия выполняются, в частности, для однородного тяжелого тела вращения.

Рассмотрим меридиан поверхности вращения, по которому тело касается неподвижной плоскости (рис. 237). Касательная плоскость в точке Р этого меридиана перпендикулярна к плоскости меридиана гОР, с которой она пересекается по линии РТ. Пусть С - расстояние GQ от центра тяжести до касательной плоскости и 6 - угол, который образует этот перпендикуляр с Gz; С является функцией в;

которая вполне определена, поскольку меридиан задан. Можно, наоборот, заранее задать соотношение этого вида, и тогда соответствующая поверхность будет иметь меридианом кривую, являющуюся огибающей прямых РТ, удовлетворяющих указанным условиям. С другой стороны, очевидно, что если меридиан задан, то расстояние QP, которое мы обозначим через р, будет также известной функцией е. Для определения этой функции заметим, что касательная РТ имеет относительно осей Gx и Gz, лежащих в плоскости меридиана, уравнение

x sin 6 -г cos е = /(6).

Так как меридиан является огибающей семейства прямых, подучающегося при изменении 6, то для нахождения координат точки касания Р нужно к этому уравнению присоедищ1ть его производную по в:

x cos е -f г sin 9 = / (6).

Это есть уравнение нормали PR, проходящей через точку Р. Ее расстояние от точки G равно QP. Поэтому имеем

Р = ± / (0).

Установив это, рассмотрим тело, лежащее на неподвижной горизонтальной плоскости Ю-ц, и пусть Р - точка касания поверхности вращения, ограничивающей тело, с плоскостью (рис. 238). Выберем в неподвижной плоскости две перпендикулярные оси 01, О-ц и примем в качестве оси ОС вертикаль, направленную вверх. Пусть 5, т[, С - координаты центра тяжести G; 6, ср, ф - углы Эйлера, определяющие положение главных осей инерции Gxyz тела относительно осей Gxiyz,, параллельных неподвижным осям Oit\Z,; ось Gz направлена по оси вращения, и поэтому главные моменты инерции относительно осей Gx и Gy одинаковы, так что А = В,

Как видно из чертежа, С есть расстояние GQ от центра тяжести G до касательной плоскости Ют], а прямая GQ образует с осью Gz поверхности как раз угол 6. Поэтому имеем

Рис. 237.

С =/(6),



где/(6) - известная функция. Соотношение (1) как раз и выражает, что тело касается горизонтальной плоскости.

Если через М обозначить массу тела, то действующие на него силы суть вес Mg, приложенный в G, и нормальная реакция R плоскости, приложенная в Р.

Так как обе эти силы вертикальны, то два уравнения движения центра тяжести имеют вид

..3=0, «5.-0.

Следовательно, точка Q, которая является горизонтальной проекцией центра тяжести, совершает прямолинейное и равномерное движение.

°. Горизонтальная проекция точки G неподвижна. Допустим сначала для простоты, что начальная скорость, сообщаемая центру тяжести, равна

нулю либо вертикальна. Тогда ее горизонтальная проекция будет вначале равна нулю, и так как эта проекция остается постоянной, то она будет равна нулю все время. В этом случае точка Q будет неподвижна и центр тяжести может лишь колебаться по вертикали, проходящей через эту точку.

Применим теорему кинетической энергии для абсолютного движения. Полная кинетическая энергия равна


кинетической энергии

Рис. 238.

скости равна нулю, а элементарная

Следовательно, интеграл энергии имеет вид

всей массы, сосредоточенной в центре тяжести G, сложенной с кинетической

энергией [Л (рЗ + 4) + СгЦ в относительном движении вокруг точки G. Работа нормальной реакции пло-работа силы тяжести равна -Mg d,.

+ (р2 + qi) 4- Сг2 = - 2Mg, + h.

Заметим теперь, что моменты относительно оси Gz сил, приложенных к телу, каковыми являются реакция плоскости и вес, равны нулю.

Так как теорема моментов применима к относительному движению вокруг центра тяжести, то отсюда видно, что в относительном движении сумма моментов количеств движения относительно оси Qz постоянна. Следовательно, проекция на uzi главного момента количеств относительного

движения Gsi постоянна, и так как проекции вектора Gaj на оси Олуг равны Ар, Aq, Сг, то

Ар sin е sin tp -f Aq sin Ь cos tp -f Cr cos 8 = AT.

Наконец, обе приложенные к телу силы - реакция и вес - пересекают ось вращения Qz. Следовательно, N = 0, н так как А = В, то третье уравнение Эйлера принимает вид





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 [65] 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0042