Главная Промышленная автоматика.

26. Интерпретация мнимого периода в движении по Пуансо. Подходящим выбором начальных условий можно так соединить попарно движения, чтобы вещественный период одного движения равнялся мнимому периоду другого движения, деленному на /. (Аппель, Bulletin de la Societe Mathematique de France, т. XXVI, 1898, стр. 98.)

27. Проинтегрировать уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки в случае, когда эти уравнения имеют вид

A-r(C-B)qr cq-br=:u, B + (AC)rp+ аг - ср=0.

C~ + (B-A)pq + bp-aq =0,

где а, *, с - постоянные. Можно найти два первых интеграла

Api + Bq + Cr-- = 2/1,

{Ар -f fl)2 + {Bq -f ft)2 -f {Cr + C)2 = k"-

И привести интегрирование к квадратурам. (Vito Vol terra, Atti della R. Accademia delle Scienzedi Torino, т. XXX, mars 1895.)

28. При движении тяжелого твердого тела вращения вокруг неподвижной точки, взятой на его оси, траектория какой-нибудь точки его оси зависит от ц, и «9 и, кроме того, еще от величины -. Если положить

brt = т, то исследуемому движению будет соответствовать движение такого типа, для которого Ьгг,= {. (Drach, Comptes rendus, т. 170, стр. 1156, 17 мая 1921.)



ГЛАВА XXI СВОБОДНОЕ ТВЕРДОЕ ТЕЛО

I. Общие сведения

404. Уравнения движения. Для того чтобы знать движение свободного твердого тела, достаточно знать движение какой-нибудь точки тела, например, центра тяжести и движение тела вокруг этой точки.

Представим себе три неподвижные прямоугольные оси 0, От), 0! (рис. 236) и обозначим через , т), ! координаты центра тяжести О относительно этих осей. Если обозначить через М массу тела, то

уравнения движения центра тяжести дадут


- где в правых частях стоят суммы

проекций сил, приложенных к телу, на три оси 07j!l.

Проведем теперь через центр тяжести О три оси Охх, Оуг, Ог по-Рис. 236. стоянного направления, например, па-

раллельные неподвижным осям 0;7)С. Движение тела относительно осей Охуг является движением тела вокруг неподвижной точки. Если ввести три оси Охуг, неизменно связанные с телом, то положение тела относительно осей Охуг будет определяться тремя углами Эйлера 6, ср, ф, которые оси Охуг образуют с осями Охуг. Раньше мы получили уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки, применяя теорему моментов количеств движения. Но эта теорема применена также и для относительного движения вокруг центра тяжести (п. 350). Следовательно, к этому движению могут быть приложены все уравнения, установленные ранее д.1я движения тела вокруг неподвижной точки.



B)qr =

C)rp

A)pq

Таким образом, мы имеем шесть уравнений (1) и (2), определяющих шесть параметров I, т). С, О, tp, ф в функции t. В общем случае правые части этих уравнений зависят от шести параметров, а также и от их первых производных, если силы зависят от скоростей, так что приходится рассматривать совместно все шесть уравнений.

В случае, когда твердое тело не вполне свободно, шесть перечисленных параметров связаны некоторыми соотношениями. Но тогда в уравнения движения войдут неизвестные реакции.

Если оси Oxyz являются главными осями инерции для точки О, то кинетическая энергия тела в его относительном движении вокруг центра тяжести будет

(ApBq + Cr).

простейшие примеры. В трех следующих примерах можно проинтегрировать раздельно сначала уравнения (1), а затем уравнения (2).

1°. Тяжелое тело в пустоте. Центр тяжести тела будет двигаться как тяжелая материальная точка, т. е. будет описывать параболу. Далее, так как внешние силы - веса отдельных точек, имеют равнодействующую, приложенную в центре тяжести G, то величины L, М, N равны нулю. Движение тела вокруг точки G идентично с движением твердого тела вокруг неподвижной точки в случае, когда силы имеют равнодействующую, проходящую через неподвижную точку. Это движение будет такое же, как в случае Эйлера - Пуансо.

2°. Твердое тело, частицы которого притягиваются неподвижным центром О пропорционально массе а расстоянию. Притяжения имеют равнодействующую, приложенную в центре тяжести G и равную притяжению, которое вызывала бы точка О, если бы вся масса была сосредоточена в точке G. Следовательно, точка G описывает эллипс с центром в точке О (п. 223) и движение вокруг точки О является движением по Пуансо.

14 Зак. 922. П. Аппель. т. И

Приложим, в частности, уравнения Эйлера. Примем за оси Oxyz, связанные с телом, главные оси инерции в точке О и обозначим через А, В, С три главных момента инерции. В каждый момент времени скорости точек тела относительно осей Gx,y,z, будут такими же, как если бы тело совершало мгновенное вращение с угловой скоростью ft), составляющие которой по осям Oxyz равны р, q, г. Главный момент относительно точки О количеств относительных

движений есть вектор Оа,, имеющий проекции Ар, Bq, Cr на оси Gxyz. Тогда, обозначая через L, М, N суммы моментов сил, приложенных к телу, относительно тех же осей, получим уравнения Эйлера:





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 [64] 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0037