Главная Промышленная автоматика.

Это уравнение, в котором р, qi, г\ рассматриваются как текущие координаты, показывает, что точка m постоянно лежит на сфере S с центром на оси Ozx- Точка m описывает, следовательно, в абсолютном пространстве сферическую кривую Hi. Для определения этой кривой необходимо обратиться к уравнениям (3) и вывести из них дифференциальное уравнение проекции кривой Hi на одну из координатных плоскостей. Но тогда движение можно представить следующим образом:

Движение полукается качением герполодии Н, неизменно связанной с телом, по неподвижной сфере S. Действительно, движение получается, если заставить конус С, связанный с телом и имеющий основанием герполодию Н, катиться по неподвижному конусу С,, имеющему основанием сферическую кривую Hi. В этом движении кривая Н катится по Hi, т. е. по сфере Si, содержащей Hi.

В частном случае, когда * == 1, имеем А= В - С и эллипсоид инерции для точки О является сферой. В этом случае сфера S обратится в неподвижную плоскость Щ, перпендикулярную к Ozi, и движение получится качением герполодии Н по неподвижной плоскости П.

Тогда кривая Hi, являющаяся геометрическим местом точек в> в пространстве, лежит в плоскости IIi. Составляя ее дифференциальное уравнение в полярных координатах, можно убедиться, что она является также герполодией, описываемой точкой m по закону Пуансо.

17. Доказать, что сферическая кривая Hi предыдущего упражнения, описываемая концом m мгновенной угловой скорости в абсолютном пространстве, может быть образована следующим образом:

Если три точки лежат на неизменяемой прямой, причем две первые должны оставаться на двух различных сферах, а третья на плоскости, перпендикулярной к линии центров обеих сфер, и если, кроме того, прямая должна перемещаться таким образом, чтобы оставаться нормальной к траектории одной из своих точек, что полностью определяет ее движение, начиная с некоторого заданного положения, то точка прямой, которая должна оставаться в плоскости, опишет герполодию, а две другие точки опишут сферические кривые, являющиеся кривыми Я,, описываемыми в пространстве концом <л мгновенной угловой скорости. (D а г-b о U X, Journal de Mathematiques, 4 serie, т. I, Fasc. IV, 1885.)

18. Псевдоэллиптические интегралы Гринхилла для движения тяжелого тела вращения, закрепленного в одной из точек его оси. Допустим, что волчок приведен вначале во вращение вокруг своей оси как в исследованном случае (п. 396), а затем предоставлен самому себе. Обозначим через Uq начальное значение cos 9. Мы видели, что какая-нибудь точка г, взятая на оси волчка, будет описывать сферическую кривую, имеющую точки возврата на окружности и - Uq к касающуюся некоторой окружности, расположенной под первой и соответствующей корню определяемому уравнением

a(l-.?)-*V?(«o-«0 = O.

Допустим, что величина начального вращения гр определена таким образом, что значение % равно нулю, так что

а = brlu.

Тогда сферическая кривая будет касаться большого горизонтального круга сферы и некоторые интегралы окажутся псевдоэллиптическими.

В само.м деле, в этом случае выражение 11 примет вид (Й=*-о«("о-«)0-"«о).



И МЫ имеем

Отсчитывая время t от того момента, когда и = щ, и полагая, что ф обращается в нуль одновременно с t, получим интеграл

уГг*- Ф> = У1 - ММо - /Ум(Мо -м), (а)

в котором S обозначает постоянную *£ff, а / - комплексную единицу У- 1.

В этом легко убедиться, взяв логарифмические производные от обеих частей

и заменив затем и ~ их значениями в функции и. Тогда вещественные at at

части и коэффициенты при / справа и слева будут тождественны. Интеграл (я), если в нем приравнять вещественные и мнимые части, предварительно заменив и его значением cos 8, распадается на два уравнения:

sin е cos (st - ф) = Vl -«о cos 8, Sin 6 sin {St - Ф) = - У(мо-cos8)cos 9.

Эти два уравнения приводятся к одному, в чем можно убедиться, если возвести их в квадрат и сложить.

Можно также показать, что при соответствующих начальных условиях получается интеграл вида

sin2 82 * = (м - D) /(м -м)(из-м) 4- I {Еи- - Fa) YIT,,

в котором п, D, Е, F являются надлежащим образом подобранными вещественными постоянными.

Можно также добиться исчезновения векового члена nt при помощи еще более частного подбора постоянных задачи. Тогда сферическая кривая, представляющая собой геометрическое место точек г, будет замкнутой. В частном случае сферического маятника нельзя добиться исчезновения векового члена nt.

При другом выборе постоянных задачи получается интеграл вида

sin« Ье №- i = (u - Du+ D) У (и- м) (м - «О -j-

-f I {Еи - Fu + F*) yiI7=.

где D, D, E, F, F - вещественные постоянные. Можно также и здесь добиться исчезновения векового члена nt.

Вообще, если л. обозначает целое число, то можно найти такие частные случаи, при которых sin" 91 * дается формулой, принадлежащей первому или второму типу в зависимости от того, будет ли (а четным или нечетным, в которой перед радикалами стоят многочлены степени л. - 1. (О гее nil ill, Proceedings of tlie London Mathematical Society, т. XXV et Fonctions elliptiques, traduction de Oriess.)

19. Твердое тело, движущееся вокруг неподвижной точки, находится под действием пары, вектор момента которой все время параллелен главному моменту количеств движения и по модулю равен модулю последнего, умноженному на постоянную L Найти движение тела.

Ответ. Уравнения движения суть

A + {C-B)qr + \Ap = 0,...



Если положить /? = в--*р, W = 1 -е-*, то эти уравнения приведутся к виду

A+(C-B)qr=0.....

так что р, q, г будут такими же функциями от t, какими функциями от t являются р, q и г в случае отсутствия внешних сил. (См. Oreenhill, Fonctions elliptiques и Padova (Падуя), Atti dellAccademia di Torino, т. XVI, 1885-1886.)

20. Найти движение однородной сферы, движушейся вокруг своего центра в сопротивляющейся срюде. Эта сфера снабжена на своей поверхности произ вольным числом плоских лопаток произвольной формы, плоскости которых проходят через центр. Найти движение, пренебрегая массами лопаток и предполагая, что закон сопротивления является таким же, как в примере п. 403.

Ответ. Уравнения Эйлера являются в этом случае системой линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

21. Невесомое тело, на которое не действуют никакие силы, может двигаться вокруг неподвижной точки. В момент t, когда тело неподвижно, к нему прикладывается сила F, величина и линия действия которой заданы. Какими будут в момент t -\-dt угловая скорость и положение мгновенной оси вращения?

Тот же вопрос, если приложить несколько сил. (Stele hen, Crelle, т. 43, стр. 161.)

22. Тяжелый стержень бесконечно малой толщины движется вокруг одной из своих точек, закрепленной неподвижно. Найти движение.

(На стержне существует точка, которая движется как конический маятник.) (Т is sot. These, Journal de Liouville, т. XVII, 1852.)

23. Когда тело вращается вокруг неподвижной точки под действием сил, момент которых относительно мгновенной оси вращения равен постоянно нулю, то скорость вращения пропорциональна радиусу-вектору эллипсоида инерции, направленному по этой оси. Справедливо и обратное.

Прямое предложение прилагается, в частности, к движению тела, вращающемуся вокруг неподвижной точки и вынужденному все время касаться неподвижной поверхности, причем на тело не действуют никакие другие силы, кроме нормальной реакции поверхности. (Flye S а i п t е-М а г i е. Journal de Liouville, т. Ill, 1877.)

24. Найти движение однородного тяжелого тела вращения, закрепленного в одной из точек его оси и опирающегося на неподвижный круг, ось которого проходит через точку закрепления:

1° пренебрегая сопротивлениями;

2° принимая во внимание трение скольжения поверхности тела о неподвижную окружность и предполагая, что нормальная реакция круга направлена перпендикулярно к прямой, соединяющей неподвижную точку с точкой опоры. (А St or, Nouvelles Annales de Mathematiques, 1894, стр. 442.)

25. Ha неподвижной плоскости находится однородная материальная окружность массы т. Частицы последней притягивают к себе по закону Ньютона частицы твердого тела, центр тяжести которого закреп.ген неподвижно в центре окружности. Найти движение тела, предполагая, что его размеры очень малы по сравнению с радиусом окружности.

Решение задачи при помощи в-функций двух аргументов вместе с много численными библиографическими указаниями можно найти во вступительной диссертации Оскара Перрона (Oscar Perron), представленной Мюнхенскому университету в 1902 г. (изд. Wolf und Sohn).

Эта задача тесно связана с задачей движения Земли вокруг своего центра тяжести. В этой после,дней задаче обычно предполагают, что центральный эллипсоид инерции является эллипсоидо.и вращения.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 [63] 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0056