Главная Промышленная автоматика.

Р = хУ"0У -(p3-a)(p2-ft)(p2-c),

пределяющие координаты р и х точки от на плоскости П в функции t.

Следовательно, площадь, описываемая радиусом От на плоскости И, пропорциональна времени.

Движение, определяемое уравнениями (1), будет таким же, как у материальной точки, находящейся под действием центральной силы, исходящей из точки О и имеющей выражение вида «р Рр". (Darboux, Mecanique de Despeyrous, Note 17, Pinczon, Comptes rendus, апрель 1887.)

12. Теорема Джебиа (Qebbia) *). Движение твердого тела вокруг неподвижной точки О в случае, когда отсутствуют внешние силы, может быть получено качением и верчением поверхности второго порядка с центром в точке О, имеющей те же круговые сечения, что и эллипсоид инерции, по поверхности вращения вокруг оси Ог. (S i а с с i. In memoriam Dominici Clielini, Collectanea mathematica, 1881; Qreenhill, Fonctions elliptiques, гл. VII.)

13. Теорема Мак Куллага (Mac Cullagh). Если теоремы Пуансо преобразовать при помощи взаимных поляр относительно сферы с центром О,

*) Теорему приписывают Сиаччи, который доказал ее в частном случае. Джебиа доказал ее в общей форме (R. Accademia de Lincei, 1885).

может быть образована эллипсом с неподвижным центром, катягцимся по этой плоскости. (Альфен, Comptes rendus, 5 октября 1887; Traite des fonctions elliptiques, т. II, стр. 249.)

8. Любая геодезическая линия, проведенная на параболоиде вращения с вертикальной осью и с вогнутостью, направленной вверх, проектируется горизонтально в герполодию, получаемую при качении некоторого определенного эллипса. (Floquet, Bulletin des seances de la societe des Sciences de Nancy, seance du le juil let 1889.)

9. Герполодия есть кривая, описываемая точкой, секториальная скорость которой р2 , есть линейная функция р2, а полная скорость есть

функция второй степени относительно рЗ, в которой коэффициент при р* отрицателен. (Дарбу, заметка к Mecanique Депейру.)

10. Если заставить катиться и вертеться без скольжения по неподвижной плоскости II произвольную поверхность второго порядка с неподвижным центром О, то геометрическим местом точек касания т на неподвижной плоскости будет обобщенная герполодия. Радиус-вектор герполодии, проведенный из основания Р перпендикуляра ОР к плоскости П, и касательная к этой кривой в т будут двумя сопряженными касательными катящейся поверхности. Для того чтобы радиус-вектор Рт не вращался все время в одном направлении или чтобы кривая имела точки возврата, необходимо, чтобы радиус-вектор мог совпадать с касательной. Эти два сопряженных, направления могут совпадать лишь тогда, когда поверхность второго порядка имеет противоположные кривизны, т. е. когда она является однопо-лостным гиперболоидом (Дарбу, там же).

11. Во втором представлении движения по Пуансо (п. 393) определить след, оставляемый точкой от на вращающейся плоскости П.

Ответ. Радиус-вектор От равен радиусу-вектору Рт = р герполодии <рис. 231). Если обозначить через х угол, образуемый радиусом-вектором От с некоторой прямой 0U, лежащей в плоскости 1Г и движущейся вместе с ней, то XiOU - \).t, так как П вращается со скоростью х; х - Х - (х, так как От и Рт параллельны. Заменим в уравнении герполодии дифференциал rfx значением dx -j- (х dt. Тогда получатся уравнения



получим уравнение dt

которое действительно является уравнением вида, указанного для герполодии, так как подкоренной многочлен начинается с - рв. с другой стороны, Ф sin 9

q 6 . Фзше

8"/ = 7 = -IThTo- = f=gS--=?•

1 + -J.- tg tf

то окажется, что движущийся вместе с телом эллипсоид -г + + "тг = I

(называемый гирационным эллипсоидом) все время проходит через две неподвижные точки, расположенные на главном моменте количеств движения Оа симметрично относительно О.

14. Теорема Джебиа. Преобразуя точно так же теорему Сиаччи (12), найдем, что поверхности, софокусные с гирационным эллипсоидом, скользят по неподвижным поверхностям вращения второго порядка.

15. Мы видели, что при движении тяжелого тела вращения, закрепленного в какой-нибудь точке его оси, величина и = cos 6 изменяется между двумя значениями Uj и а,. Указать, каковы должны быть начальные условия для того, чтобы эти два значения были равны между собой. Тогда ось тела опишет точный конус вращения вокруг Ог и общее значение % и Uo, будет обязательно равно «q.

Ответ. Достаточно определить о и р так, чтобы полином /(и) имел наперед заданный двойной корень щ.

16. В задаче Лагранжа и Пуассона доказать:

Г что конец (О вектора мгновенной угловой скорости постоянно остается в неподвижной относительно тела плоскости, перпендикулярной к оси Oz тела, и описывает в этой плоскости некоторую герполодию Н;

2° что в пространстве та же точка m описывает кривую, лежащую на сфере S;

3° что движение может быть получено качением герполодии Н, рассматриваемой как неизменно связанной с телом, по неподвижной сфере S. (Якоби, Oesammelte Werke, т. II; Альфен, Comptes rendus, т. С; Дарбу, Journal de Mathematiques, 1885 и заметка XIX к Mecanique de Des-peyrour; де Сен-Жермен, Resume de la theorie du mouvement dun solide autour dun point fixe, Oauthier-Villars, 1887.)

Указания к решению:

Г. Геометрическое место концов и> мгновенных осей вращения в теле есть герполодия. Координаты точки m относительно подвижных осей суть р, q, г. Так как г = Гр, то точка ы находится в плоскости П, перпендикулярной к оси Oz и неизменно связанной с телом. В этой плоскости точка и> описывает кривую Н, которая проектируется в натуральную величину на плоскость ху. Декартовы координаты точки ш, отнесенной к осям Ох и Оу, суть ряд, причем

p=\l Sin 6 Sin tf 4- 6 COS tf,

q = <\i sin e COS tf - 6 sin Cf. Обозначим через p и x ее полярные координаты. Прежде всего p3 = p2 g2 = (i - а cos 6 = а - аи.

Отсюда и =-- и, подставляя в соотношение



Так как мы положили cos Ь = и, то

sine I-U"- Х-и"- ,, р -ЙГоМ , *ГоМ -Э

- ---. - ф = j-.-- . у - arctg -- -.....---ф

в du VHuj Х - и У/(м)

Дифференцируя по t к заменяя ~ выражением У/(м), а 9 - найденным

В - ЬГ(,и

раньше значением гд - и -, после приведения получим

или, так как а - аи= р2, то

Уравнения (1) и (2) имеют характерную форму уравнений герполодии, так как во втором уравнении постоянный член (Ьгоа - ра) равен

± -У-(0)- Следовательно, теорема доказана. Конус (С), представляющий

собой геометрическое место мгновенных осей Ом в теле, является конусом, имеющим основанием эту герполодию Н.

2°. Геометрическое место точек <л в абсолютном пространстве ecmt сферическая кривая Н,. Если обозначить через р,, д,, г, составляющие мгновенной угловой скорости (О по неподвижным осям Ох,, у,, г,, то эти три величины могут быть найдены тем же методом, что и р, д, г.

Так как угловая скорость m есть результирующая трех угловых скоростей 6, tf, tl, направленных по осям О/, Ог, Ог, (рис. 224), то р, равно сумме проекций этих трех последних угловых скоростей на ось Ох,, а д, и г, равны соответственно суммам их проекций на оси Оу, и Ог,. Таким образом получаем

р, = 6 cos ф tf sin 6 sin ii,

= 6 sin Ф -• tf sin e cos Ф, ; (3)

= Ф -f tf COS 6.

Таковы координаты точки ы относительно неподвижных осей. Подставляя сюда найденные раньше значения ф и tf, получим г, в функции от cos 9 или, что то же, от и:

r, + (X-b)roU. Далее, так как мы имеем очевидное равенство /? + 9? + -1=/ + Г + Л то на основании выражения р -[- как функции и получаем

/i + 9i + i = « - «и + rl-Исключив и из двух предыдущих соотношений, найдем

(1 - 6) Го {р1 + ql + rl) + аг, = (1 - *) г, {а + rf) + ар. (S)





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 [62] 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.004