Главная Промышленная автоматика.

J yda = 0.

При таком предположении сумма L моментов сил X, Y, Z сопротивления относительно оси Ох равна нулю. Сумма моментов этих сил относительно оси Оу есть

Л1= izX-xZ) = - k J {qz - ry) z da = - aq,

da

- положительная постоянная.

Точно так же сумма моментов относительно оси Oz будет

= 2 )) = / (qz-ry)yda=:=-br.

где 6 - величина положительная. Тогда уравнения Эйлера, так как А = В = С, будут

Отсюда, полагая = = получаем

Р=Ро. q==qoe-, г = ге-*.

Так как о и р положительны, то и л стремятся к нулю, когда t увеличивается. Движение стремится к вращению вокруг оси Ох, перпендикулярной к лопатке, т. е. система стремится избежать действия на нее сил сопротивления.

403. Сопротивление среды. Рассмотрим однородную сферу, движущуюся вокруг своего центра О. Плоская лопатка произвольной формы, но ничтожно малой массы, плоскость которой проходит через центр. О, неизменяемо связана со сферой. Найти движение сферы в воздухе, полагая, что сила сопротивления воздуха, действующая на каждый элемент лопатки, nponoj-циональна нормальной составляющей скорости этого элемента и направлена по нормали к лопатке.

Примем плоскость лопатки за плоскость yz и перпендикулярный к ней диаметр за ось Ох. Оси Oxyz движутся вместе со сферой. Они являются главными осями инерции. Если через р, q, г обозначить составляющие мгновенной угловой скорости вращения, то элемент da лопатки с координатами О, у, Z будет иметь скорость с проекциями

Va; = qz - ry, vy = ~pz, Vg = py.

Составляющая этой скорости по нормали к элементу da, т. е. к плоскости yOz, есть Ua,. Следовательно, сила сопротивления воздуха, действующая на этот элемент, имеет проекции

X = - kVa;da, Г=0, Z = 0,

где k - положительная постоянная.

Можно всегда предположить, что в качестве осей Oz и Оу приняты главные оси инерции лопатки относительно точки О, так что если da обозначает элемент площади лопатки, то



5§ = (С-Л);,оЛ C = (A-B)poq, (1)

откуда

d->q (А~С){А - В) , ,

df ВС

где п - постоянная. Отсюда находим:

q = qQ cos nt + ~

так как q = qo при t = 0 и согласно уравнениям (1)

dq С -А

dt В

Pofo-

Таким же путем находится и г, и мы видим, что q и г остаются очень малыми. Вращение устойчиво. Такой же результат получается и в случае вращения вокруг большой оси Oz.

Но для средней оси, полагая риг вначале очень малыми и пренебрегая произведением рг, получим q = qo и затем получим уравнение

вида == + пр. Интегрируя, найдем, что р будет функцией вида ае"* -+- Ье-»*,

которая неограниченно возрастает вместе с t. Таким образом, предположение, что риг остаются очень малыми, неприемлемо. Вращение вокруг средней оси неустойчиво. Обоснования этому методу исследования дают теоремы Пуанкаре о приближенном интегрировании дифференциальных уравнений.

4. Другой метод получения уравнения герполодии. Так как точка т и конец вектора а> мгновенной угловой скорости вращения лежат на одной

прямой с точкой О и а) = От УЛ, то геометрическое место точек т подобно геометрическому месту точек а>.

Относительные координаты точки а> по отношению к движущимся осям суть р, q, г. В абсолютном пространстве точка m описывает плоскую кривую в плоскости, параллельной плоскости П, т. е. плоскости х-Оу,, так как Oz, направлено по Оа. Следовательно, кривая, которая является геометрическим

УПРАЖНЕНИЯ

1. Кинетическая энергия тела, движущегося вокруг неподвижной точки, равна скалярному произведению главного момента количеств движения на

мгновенную угловую скорость вращения соа cos (to, а) (Резаль).

2. Доказать, что проекции р,, q,, г, мгновенной угловой скорости вращения (о на неподвижные оси имеют выражения:

р, - 6 cos ф -f <f sin е sin ф, q, = 6 sin ф - tp sin e cos ф, r, = Y -\- tf cos Й.

3. Устойчивость вращения вокруг главных осей инерции. Уравнения Эйлера удовлетворяются при q = 0, г =0. Чтобы узнать, будет ли соответствующее вращение устойчиво, достаточно узнать, будут ли q и г оставаться очень малыми, если они были малыми в начальный момент. При предположении малости q и г произведением qr можно пренебречь. Тогда первое

уравнение Эйлера будет ~ = 0, откуда р = Ро, а два других принимают



где ds - элемент дуги кривой, являющейся траекторией конца вектора oi. Если существует точка перегиба, то Rx обратится в бесконечность и Rm dt - ds. Но уравнения движения Пуансо показывают, что это невозможно, каков бы ни был знак D - В. (Comptes rendus de IAcademie des Sciences, 26 апреля 188.5.)

6. Дан невесомый тетраэдр ОАВС, в котором трехгранный угол О является прямоугольным и ребра которого ОА, ОВ, ОС равны соответственно а, Ь, с.

1°. Определить главные оси центрального эллипсоида инерции, т. е. эллипсоида инерции, построенного в центре тяжести G тетраэдра при следующих предположениях:

а = У2, Ь = \, с=У~3.

2°. В начальный момент тетраэдру сообщают вращение вокруг произвольного диаметра GD центрального эллипсоида инерции. Требуется определить движение этого тетраэдра вокруг его центра тяжести G. Надо определить положение тетраэдра в пространстве в произвольный момент.

Составляющие Рр, q, Гд начальной угловой скорости вращения относительно большой, средней и малой осей центрального эллипсоида инерции имеют соответственно значения

Po = V& + V, ?о=0. Го =/б-15.

(Кандидатский экзамен, 1890.)

Ответ. Так как центр тяжести был в начальный момент неподвижен, то он и останется неподвижным. Следовательно, тело вращается вокруг неподвижной точки и на него не действуют никакие силы. Оно совершает движение Пуансо. Нужно подсчитать численно А, В, С, h п I или (х и D. Получается

= 6 -15; В = 6, C = 6-fA5.

Заданные начальные значения соответствуют особому случаю, когда полодия является эллипсом, проходящим через среднюю ось эллипсоида инерции. (Де Сен-Жермен, Nouvelles Annales, т. IX, 1890.)

7. Любая геодезическая линия, проведенная на удлиненном эллипсоиде вращения, проектируется на плоскость экватора в виде герполодии, которая

местом точек «, спроектируется на плоскость хОух в натуральную величину. Но а) есть результирующая трех угловых скоростей 6, <f, ф, направленных как было указано выще (п. 382).

Проекция вектора а) на плоскость хОух имеет абсолютные координаты Pi и qi. которые можно легко вычислить, если заметить, например, что Pi есть сумма трех проекций б, <f, ф на ось Ох. В результате получаются значения, приведенные в упражнении 2. Определенная таким образом на плоскости .-jOyj точка <i(Pi,qi) описывает кривую, подобную герполодии. Если через и Xi обозначить ее полярные координаты, то

Рх + = pie*x. (6 /ср sin 0) е.

На основании формул (20) п. 388, определяющих 6 и <f, и формулы (21), определяющей ф, мы получаем Рх и qx как однозначные функции времени.

5. Доказательство де Сен-Жермена несуществования точек перегиба на герполодии. Пусть R и Rx - радиусы кривизны конусов, имеющих основаниями полодню и герполодию, в какой-нибудь точке их общей обра-аующей. В кинематике устанавливается соотнощение вида





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 [61] 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0037