Главная Промышленная автоматика.

--------1-1-1-1-1--------J

О Л м е С в

Рис. 183.

Насекомое М той же массы, рассматриваемое как точка, находилось вначале неподвижно на конце А. Б момент = О оно начало перемещаться от Л к В, совершая вдоль АВ равноускоренное движение {AM = afl). Каково движение системы?

Так как единственными внешними силами являются вес и нормальные реакции горизонтальной плоскости, то горизонтальная проекция центра тяжести остается неподвижной. Более того, из соображений симметрии очевидно, что соломинка АВ будет перемещаться только вдоль своего первоначального направления. Примем это направление за ось Ох, обозначим через x н х координату середины С отрезка АВ и координату точки М и пусть х, xfy - значения этих координат в момент t = 0. Имеем:

X X = Xq-\- Xq.

Так как

х = х - 1 + af, x[ = Xq - I, то, следовательно, получим:

af- , / аР X - Xq--2~ > - -*о Н-2~ *

3 Зак, 922. П. Аппель, т. II

тяжести не изменилась. Но вторая нога не может отодвинуться назад иначе, как скользя по грунту. Благодаря этому возникает реакция, отклоненная от вертикали вследствие трения о грунт и направленная вперед. Эта реакция, перенесенная параллельно самой себе в центр тяжести, определяет его движение вперед.

5°. Отдача огнестрельного оружия. Рассмотрим направленное горизой-тально орудие массы М. Пусть т - масса снаряда и (х - масса частицы пороха. До сгорания пороха скорость центра тяжести равна нулю. Она должна оставаться такой же и непосредственно после сгорания пороха, так как единственными развивающимися силами будут внутренние, поскольку действие веса и пассивных сопротивлений в течение весьма короткого периода горения можно считать равным нулю. Следовательно, обозначив через V, V я W абсолютные значения начальных скоростей орудия, снаряда и частицы t, получим:

MV-mv-\>-w =0,

так как знаки скоростей снаряда и частиц пороха, очевидно, противоположны знаку скорости орудия. Знак 2 обозначает суммирование, распространенное на все частицы заряда. Так как скорость w неизвестна и масса т = 2 заряда не достигает четверти массы т, то можно приближенно

принять W равным среднему алгебраическому • Таким путем получаем уравнение

V{2M+m) = v(2m + m),

определяющее отношение скоростей V п v.

6°. Упражнение. На идеально отполированную горизонтальную плоскость положена прямолинейная соломинка АВ длины 21 и массы т (рис. 183).



что можно написать также в виде т

d dt

Допустим, что аналогичные уравнения написаны для всех точек системы. Складывая их почленно, придем к уравнению

S 1 - > 4f) S S (- - +S S - )-

Но - Уд представляет собой сумму моментов всех внут-

ренних сил относительно оси Ог. Это выражение обращается в нуль, так как эти силы попарно равны и прямопротивоположны. Мы получаем, таким образом, уравнение

и можем сформулировать следующую теорему:

Теорема. Производная по времени от суммы моментов количеств движения точек системы относительно произвольной неподвижной оси равна сумме моментов внешних сил относительно этой оси.

329. Теорема площадей. Допустим, что сумма моментов внешних сил относительно некоторой оси равна постоянно нулю. Приняв эту ось за ось г, из предыдущей теоремы получим:

т. е. сумма моментов количеств движения относительно этой оси будет тогда постоянной. Говорят также, что для проекции движения на плоскость, перпендикулярную к этой оси, справедлива теорема площадей.

Реакция соломинки на насекомое получается сразу; обозначив эту реакцию через АГ и написав уравнение движения точки М, получим;

от ,= л, л = та.

328. Доказательство теоремь! моментов количеств движения или кинетических моментов. Вернемся к уравнениям (1). Умножим первое из них на -у, второе на л: и сложим; тогда получим:



Спроектируем (рис. 184) движущиеся точки М,, .....М, ...

на плоскость хОу, перпендикулярную к оси. Получим точки р,, pi, ...

р, ... Обозначим через А„ А, А, ... площади, описываемые радиусами-векторами Ор,, Opi.....Op, . .. Имеем:

и поэтому

2dA = xdy - ydx.

dA dt

Уравнение (4) напишется теперь так:

После интегрирования имеем:

Следовательно, сумма произведений описываемых площадей на соответствующие массы изменяется пропорционально времени. Постоянная площадей С представляет собой удвоенное изменение величины шА за единицу времени.

Если, в частности, на систему не действуют никакие внешние силы, то закон площадей можно применить к проекции движения на любую плоскость, причем относительно любой точки этой плоскости. Это имеет место для солнечной системы, если пренебречь действием звезд.

Теорема площадей, несмотря на то, что она является непосредственным следствием

законов Ньютона, была сформулирована значительно позднее Эйлером, Дарси и Даниилом Бернулли (1746).

Приложение к живым существам. Если предыдущую теорему приложить к наблюдателю, стоящему на гладкой горизонтальной плоскости, то можно видеть, что закон площадей имеет место относительно любой точки этой плоскости. В самом деле, внешние силы - вес и реакции плоскости, действующие на наблюдателя, все вертикальны и сумма их моментов относительно любой вертикальной оси Oz равна нулю; следовательно, уравнение (4) имеет место, какова бы ни была точка О на горизонтальной плоскости. Если наблюдатель был


Рис. 184.





0 1 2 3 4 5 [6] 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0044