Главная Промышленная автоматика.

rf = 0. /- = Го,

а два остальных прини.мают вид

A\{Cro-AqzXg b)q-hY,

dq dt

-(Сго- AqcXgb)p=hX.

(63)

Допустим, что в начальный момент тело приведено во вращение вокруг оси Ог (ро = q(, - 0,r(,фO) и что никакая сила не действует (X = Y = 0). Тогда это вращательное движение будет продолжаться сколь угодно долго, ось Ог будет сохранять свое направление в пространстве, р и q будут все время равны нулю. Это вытекает нз элементарных свойств главных осей инерции (п. 361).

Определение силы F, которую нужно приложить в точке Н, чтобы сообщить оси Ог заданное движение. Пусть тело находится в состоянии устойчивого вращения, о котором мы только что говорили. Воздействуем на точку Н силой F{X, Y, О) таким образом, чтобы изменить направление оси, заставив точку Н описывать по заданному закону заданную кривую, которая обязательно будет леисать на сфере радиуса ОН с центром в точке О.

Для аналитического определеш!я движения, которое мы желаем сообщить точке Н оси Ог, достаточно задать 6 и ф в функции t, так как эти два угла определяют направление оси Ог. Мы предполагаем, что движение, которое сообщается точке Н, удовлетворяет обычным условиям, т. е. что скорость и ускорение точки Н остаются меньше некоторого определенного предела или, что то же, в и ф, которые являются функциями времени t, а также их производные 6, ф, 8", ф" первого и второго порядков не превосходят по абсОг лютиым значениям некоторого определенного предела X. При этих условиях величины

р=В, •«ф51п8, pctge = фбcos е, 2 ctg в «= ф sin 8 cos в

и их производные , также остаются по абсолютным значениям

меньше некоторого определенного предела X.

Если /"о равно нулю, то сила, необходимая для того, чтобы произвести 9т0 движение, имеет некоторое значение FpiXp, Yp, 0), получаемое в каждый

Сила F уничтожается сопротивлением неподвижной точки О. Она не имеет никакого влияния на характер движения и имеет значение только при вычислении давления на точку О. Следовательно, движение происходит под действием только силы F. Мы видим, таким образом, что сформулированная общая задача всегда сводится к простому случаю; это случай, когда к оси вращения приложена только одна, перпендикулярная к ней, сила F.

Исследуем теперь эту задачу.

Возьмем подвижные оси предыдущего пункта, так что ось Ох перпендикулярна к плоскости гОг (рнс. 234), а ось Оу перпендикулярна к плоскости гОх.

Обозначим через X, Y, О составляющие силы F по этим трем осям и через z = h координату z точки Н приложения этой силы. Моменты силы F относительно осей Охуг суть

Sa, = -AK, SyhX, S=.0.

Третье из уравнений (61) предыдущего пункта теперь будет



момент времени из формул (63), в которых /-0 = 0.

(64)

А dq , А .

Абсолютное значение этой силы будет иметь тот же порядок, что и величины

бф, 4/2, 6", у.

Допустим, наоборот, что весьма велико по сравнению с пределом X (весьма быстрое начальное вращение вокруг оси Ог). Тогда сила F, способная сообщить точке Н такое же движение, получается из формул (63). Сравнивая с выражениями для Xq и Yq, имеем

Х= Ха - - рГо, y=YQ--qrQ.

(65)

Следовательно, когда р и q не слишком малы, сала F очень сильно отличается от силы Fq, которая вызывала бы такое же движение точка Н при Kq = 0. Таким образом получается объяснение того факта, что при попытке изменения рукой направления оси ощущается неожиданное сопротивление, тем большее, чем больше Tq. Более того, можно еще показать, что в каждый момент времени сила f приблизительно перпендикулярна к элементарному перемещению, сообщаемому точке Н в этот момент. Точнее говоря, вектор, имеющий проекции X - Xq, Y - Yq, о, т. е. вектор геометрической разности F-Fq, перпендикулярен к элементарному перемещению точки и очень мало отличается по направлению от вектора F, так как вектор Fq очень мал по сравнению с вектором Р. Действительно, заметим, что абсолютная скорость © точки Н оси Ог имеет на оси Охуг проекции

Vj. ----- qh, Vy = - ph, Vg - 0. (66)

Заменяя в уравнениях (65) р н q \\х выражениями в функции v и Vy, получим

x-xq = Vy, v-vq-v.

Эти формулы показывают, что вектор F-Fq с проекциями X-Xq, Y - Yd, о и скорость v точки Н с проекциями v, Vy, О взаимно-перпендикулярны. Кроме того, мы видим, что модуль вектора F-Fq равен модулю вектора v,

умноженному на очень большой множитель Резюмируя изложенное,

мы можем высказать следующее предложение, позволяющее определить величину и направление вектора F-Fq, когда задан вектор

Пусть а - скорость, которою обладает конец вектора V, приложенного в точке И, когда этот вектор вращается вокруг оси Ог с угловой скоростью Го- Тогда вектор Р- Fq по величине и направлению равен

и противоположен вектору и, умноженному на множитель д-.

В самом деле, конец вектора V, приложенного в точке Н, имеет координаты

faj. Vy, h.

13 Зак. 922. П, Аппель, т. II



Если эта точка Н будет вращаться вокруг оси Oz со скоростью Гд, то она приобретет скорость и, имеющую проекции

rpVy, Uy = г (,Vx,

Тогда предыдущие формулы принимают вид

что и доказывает теорему.

Наоборот, если к точке Н приложить силу F(X, Y, 0) по величине порядка Го и если при движении, которое эта сила сообщит точке Н, скорость и ускорение последней будут по абсолютному значению очень малы по сравнению с Го, то скорость точки Н в каждый момент времени будет почти перпендикулярна к направлению силы F.

В самом деле, из уравнений (63), в которых в членах ГоР и Год величины ряд заменяются их значениями (66) в функции я Vy, можно найти

С Y А /\dp Л

С X А (dq , Л

в каждом из этих уравнений второй член в правой части очень мал. Следовательно, и Vy почти пропорциональны величинам - Y я X, что и доказывает теорему. Направление скорости v вытекает из предыдущего предложения.

Указания на многочисленные интересные опыты, иллюстрирующие эти свойства, можно найти в книге Грюэ (Qruey) «Элементарная теория гироскопа» (Theorie elementaire des Gyroscopes, Clermont - Ferrand, librairie Ferdinand Thibault, 1879), a также в брошюре того же автора Sur le Strephos-соре universel, ou Boite gyroscopique, изданной типографией Ше (Chaix) в 1883 г.

Вопрос о сопротивлении, испытываемом при попытке измененить направление оси быстро вращающегося тела, рассмотрен также в конце

первого тома Theorie des Kreisels Клейна и Зомиерфельда.

402. Трение. В качестве примера движения твердого тела с трением мы рассмотрим следующую задачу.

Однородная тяжелая бесконечно тонкая пластинка, имеющая форму равностороннего треугольника AiAoA со стороной а, положена вершиной Ai на горизонтальную плоскость Р, по которой она скользит е трением, в то время

как сторона .4.2-3 скользит без трения по горизонтальной плоскости Р, расположенной над первой (рис. 235). В центре тяжести G треугольника просверлено бесконечно малое отверстие, через которое проходит неподвижный вертикальный, идеально отполированный стержень 00. Реакцией этого стержня, действующей на-треугольник, является горизонтальная сила.

\ \

/ 0

Рис. 235.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 [59] 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0037