Главная Промышленная автоматика.

rv. другие задачи; применение осей, движущихся относительно тела и относительно пространства; трение и сопротивление среды

400г Пример применения осей, движущихся относительно тела и относительно пространства, для вывода общих уравнений движения тела вращения, закрепленного в точке своей оси.

В п. 386 мы указали общий метод составления урайнений движения, когда пользуются осями, движущимися в теле и в пространстве. Мы дадим сейчас приложение этого метода, рассматривая такой частный случай физического тела, эллипсоид инерции которого относительно неподвижной точки О является эллипсоидом вращения. Уравнения, которые мы таким образом установим, были использованы Пюизё (Puiseux) в теории вращения Земли вокруг своего центра, а также Рёзалем и Слессером (Re-sal et Slesser, Quarterly Journal, 1861).

Обозначая неподвижные оси через Ox,y,z, и считая, что эллипсоид инерции относительно точки О является эллипсоидом вращения, выберем следующие подвижные оси (рис. 234): ось Oz направляем вдоль оси вращения эллипсоида, ось Ох - перпендикулярно к плоскости z,Oz, а ось О у - перпендикулярно к плоскости xOz, причем ориентация триэдра Oxyz должна быть такой же, как и ориентация триэдра Oxyz, (рис. 234).

При «тих условиях ось Ох лежит в плоскости х,Оу, и положение подвижного триэдра определяется углом ф = xfix, который считаем положительным в положительном направлении вращения вокруг Oz,,

и углом b - zfiz, который считаем положительным в положительном направлении вращения вокруг Ох. Для определения мгновенной угловой скорости Q вращения триэдра Oxyz заметим, что этот триэдр может быть приведен из заданного положения в положение, бесконечно близкое, поворотом на угол db вокруг Ох, а затем поворотом на угол й(ф вокруг Oz,. Следовательно, угловая скорость Q вращения

триэдра есть результирующая двух угловых скоростей: ф = вра-

щения вокруг Oz, и б = - вокруг Ох. Ее составляющие Р, Q, R по осям Oxyz имеют значения


Рис. 234.

Р = Й, дфзтб, Р=:фсозб.



в рассматриваемом случае о,, Оу, имеют вышенаписанные значения (60). С другой стороны,

Рр, Q = g. /? = (?ctg9.

Что касается мгновенной угловой скорости о) вращения твердого тела, то она может быть получена следующим образом. Если ф и 9 известны, то известно положение триэдра Oxyz и остается только определить положение тела относительно этого триэдра. Для этого достаточно знать угол «р, который образует с осью Ох какая-нибудь прямая ОА в плоскости хОу, неизменно связанная с телом, считая этот угол положительным в сторону положительного вращения вокруг оси Oz.

Тогда тело можно переместить из какого-нибудь одного положения в другое бесконечно близкое к нему положение, повернув его на углы ФЬ, М, rfcp вокруг осей Ог,, Ох, Oz. Мгновенная угловая скорость (О вращения тела есть результирующая угловых скоростей 6, tp вращения вокруг тех же трех осей, и мы получаем для составляющих этой угловой скорости

р=.%, q = Y sinb, г = фcos6 + ср. (ш)

Главный момент количеств движения. Так как эллипсоид инерции в точке О есть эллипсоид вращения вокруг Ог, то оси Ох, Оу, Ог являются главными осями инерции и моменты инерции относительно Ох и Оу равны одной и той же постоянной А, несмотря на то, что эти оси перемещаются в теле. Конец а главного момента

количеств движения Оз относительно точки О имеет относительно подвижных осей координаты

хАр, ау = Ад. а = Сг. (60)

Уравнения движения. Обозначим через OS главный момент сил относительно точки О и через

•а! Sy, Sg

его проекции на оси Ох, Оу, Oz. Чтобы получить уравнения движения, нужно написать (п. 383), что абсолютная скорость точки а

равна и параллельна OS. Таким путем получаются три общих уравнения, указанных в п. 386:

+Qz-Roy = S,



Поэтому уравнения движения принимают вид

A + iCr - Agctgfi)q = S,

A + {Cr~Aqctg6)p = Sy, Заменяя здесь р, q, г их вышенаписанными выражениями, обо-

(61)

значая штрихами производные по / и сокращая, получим:

Л9" - Af- sin 6 cos 9 + Сгф sin 9 = ,

Af sin 9 + 2Лф9 cos 6 - Cr9 = Sy,

dr d(y + 4 cos e) dt di

(62)

Эти уравнения особенно полезны, когда S равно нулю, а 5, и Sy не зависят от ср, т. е. от угла, на который повернулось тело вокруг своей оси. Тогда г постоянно и первые два уравнения определяют 9 и ф в функции /. Это как раз имеет место в методе Пюизё для движения Земли вокруг ее центра тяжести.

Можно заметить, что если умножить первое уравнение на rf9, второе на sin 9 и третье на г dt и сложить, то получится уравнение кинетической энергии. Таким путем получается:

[л (9 4- ф sin2 9) + Сг\ = Sdb Sy sin 9 rf j + S,r dt.

401. О некоторых свойствах быстро вращающихся тел вращения.

Когда твердое тело вращения закреплено в одной из точек своей оси и быстро вращается вокруг нее, то при попытке изменить направление этой оси в пространстве путем приложения к пей сил возникают некоторые своеобразные явления, которые мы вкратце разберем.

Допустим, что тело вращения, закрепленное в точке О своей оси Oz, находится под действием таких сил, что сумма их моментов относительно оси вращения Oz равна постоянно нулю. Чтобы легче представить себе совокупность этих сил, их можно привести, как мы это сейчас покажем, к одной силе F, перпендикулярной к оси Oz и приложенной в определенной точке Н, взятой на этой оси, и к другой силе F", приложенной в точке О. Действительно, известно, что систему сил, приложенных к твердому телу, можно привести к одной силе Ф, приложенной в точке О, и к паре, вектор

момента которой совпадает с главным моментом сил относительно точки О. Так как в рассматриваемом случае сумма моментов сил относительно Oz

равна нулю, то проекция вектора OS на ось Oz тоже равна нулю. Следовательно, вектор 05 момента пары перпендикулярен к оси Ог, и так как пару можно как угодно изменять в своей плоскости при условии сохранения ее момента, то в качестве плеча пары можно взять отрезок ОН оси. Тогда пара будет состоять из силы F, приложенной в Я и перпендикулярной к оси, и из равной ей и противоположной силы - F, приложенной в точке О. Силы Ф п -F можно сложить и получить одну силу /=", приложенную в точке О. Таким образом, намеченное в начале приведение выполнено.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 [58] 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0036